Funktionenschar und Krümmungsverhalten

08.05.2006, 18:54

Arashi

Funktionenschar und Krümmungsverhalten

Hallo alle miteinander!
Als Vorbereitung für meine mündliche Abi-Prüfung hat mein Mathelehrer mir eine Aufgabe gegeben.
Ausgangspunkt ist die Funktionenschar $\begin{eqnarray*} ft(x)= t-2\sqrt{tx} +x \end{eqnarray*}$ .
Dazu die Vorgaben t aus positiven rationalen Zahlen und x aus positiven rationalen Zahlen oder 0.
Jetzt soll ich u.a. beweisen, dass diese Kurve eine Linkskrümmung besitzt.
Die zweite Ableitung ist $\begin{eqnarray*} f''t(x)=\frac{1}{2} x^{\frac{-3}{2}} \sqrt{t} \end{eqnarray*}$ .
Mein erstes Problem:
Mein Mathelehrer formt das in $\begin{eqnarray*} f''t(x)=\frac{1}{2} \frac{x\sqrt{t} }{2} \end{eqnarray*}$ um, ich weiß aber beim besten Willen nicht wie.
Zweitens: Theoretisch dürfte die zweite Ableitung nicht kleiner als Null werden, aber praktisch hindert mich nur die Vorgabe in der Aufgabenstellung und der negative Exponent in meiner Ableitung daran negative x zu verwenden.
Meine Frage:
Kann mir jemand erklären wie ich von meiner Ableitung zu der meines Lehrers komme? (Prinzipiell muss ja nur umgeformt werden, aber praktisch bekomme ich das nicht hin.)
Weiß einer von euch, ob in der Formel meines Lehrers etwas eine Aussage darüber gibt, dass keine negativen x verwendet werden dürfen?

Danke!

08.05.2006, 19:15

sqrt(2)

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RE: Funktionenschar und Krümmungsverhalten

Zitat:

Original von Arashi
Die zweite Ableitung istft(x)=1/2 x^-1,5 t^1/2.
Mein erstes Problem:
Mein Mathelehrer formt das in 1/2 x t^0,5:2 um, ich weiß aber beim besten Willen nicht wie.

Meinst du folgendes?

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{2}x\sqrt{t}}{2} \end{eqnarray*}$

Dieser Ausdruck ist ungleich $\begin{eqnarray*} f_t''(x) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Arashi
Zweitens: Theoretisch dürfte die zweite Ableitung nicht kleiner als Null werden, aber praktisch hindert mich nur die Vorgabe in der Aufgabenstellung und der negative Exponent in meiner Ableitung daran negative x zu verwenden.

Nicht auf die x-Werte, sondern auf die Funktionswerte (die y-Werte, wenn du so willst) kommt es an, denn die geben je nach ihrem Vorzeichen die Krümmung an der Stelle x an. Du kannst keine negativen x-Werte einsetzen, richtig, aber das ist völlig unerheblich, denn an diesen Stellen ist $\begin{eqnarray*} f_t \end{eqnarray*}$ gar nicht definiert und die Frage der Krümmung ist dort also unsinnig.

08.05.2006, 19:20

Arashi

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1. Nicht ganz, 1/2 steht vor dem Bruch.
Du meinst also, dass diese Umfomung nicht möglich ist?

2. Ich war der Meinung, dass die Funtionswerte negativ werden könnten, sofern ich einen negativen x-Wert einsetzte.
Ich möchte einfach nur die Möglichkeit ausschließen, dass dieser Fall eintritt.
Warum ist die Gleichung für diese Werte definiert?

08.05.2006, 19:30

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Arashi
1. Nicht ganz, 1/2 steht vor dem Bruch.

Naja, das ist ja das Gleiche.

Zitat:

Original von Arashi
Du meinst also, dass diese Umfomung nicht möglich ist?

Ja. Der Ausdruck beschreibt eine Gerade und eine solche ist nicht die 2. Ableitlung deiner Funktion.

Zitat:

Original von Arashi
2. Ich war der Meinung, dass die Funtionswerte negativ werden könnten, sofern ich einen negativen x-Wert einsetzte.
Ich möchte einfach nur die Möglichkeit ausschließen, dass dieser Fall eintritt.
Warum ist die Gleichung für diese Werte definiert?

Sie ist es nicht. Du kannst keine negativen x-Werte einsetzen (wenn du in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ bleiben willst), oder was ist z.B. folgendes?

$\begin{eqnarray*} f_t''(-1)=(-1)^{-1.5}\sqrt{t}=\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{(-1)^3}}=\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{-1}} \end{eqnarray*}$

Der Wert einer Wurzel ist immer positiv.

08.05.2006, 19:42

Arashi

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Okay..(Na ja, so wie das 1/2 gerade stand hätte man glauben können es würde nur mit dem Zähler multipliziert werden, ich wollte nicht, dass Missverständnisse aufkommen.)
Also stellt der Exponent eine Wurzel dar? (Entschuldige die Frage, aber das war mir nicht ganz klar.)
Wenn aber durch die Lösung meines Lehrers eine Gerade beschrieben wird, warum hat er sie dann in der Lösung angegeben? (Gut, auch Lehrer können sich irren. ^_^)

08.05.2006, 19:51

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Arashi
Also stellt der Exponent eine Wurzel dar? (Entschuldige die Frage, aber das war mir nicht ganz klar.)

$\begin{eqnarray*} x^{-1.5}=x^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{(x^3)^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{x^3}} \end{eqnarray*}$

Potenzgesetze.

Zitat:

Original von Arashi
Wenn aber durch die Lösung meines Lehrers eine Gerade beschrieben wird, warum hat er sie dann in der Lösung angegeben? (Gut, auch Lehrer können sich irren. ^_^)

Wenn er das wirklich als Lösung für die 2. Ableitung gegeben hat, dann hat er geirrt.

08.05.2006, 19:54

Arashi

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Also ist die Funktionenschar eindeutig linksgekrümmt?
Die notwendige Bedingund ist, dass f' streng monoton wachsend sein muss.
Diese ist bei der Ableitung $\begin{eqnarray*} ft'(x)=\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{x} } +1 \end{eqnarray*}$
nicht gegeben.
Doch die hinreichende Bedingung ist, dass f'' >0 ist, das liegt vor, oder?

08.05.2006, 21:17

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Arashi
Also ist die Funktionenschar eindeutig linksgekrümmt?

Ja.

Zitat:

Original von Arashi
Die notwendige Bedingund ist, dass f' streng monoton wachsend sein muss.

Das ist m.M.n. unter der Bedingung, dass f stetig und differenzierbar ist, notwendig und hinreichend.

Zitat:

Original von Arashi
Diese ist bei der Ableitung $\begin{eqnarray*} ft'(x)=\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{x} } +1 \end{eqnarray*}$
nicht gegeben.

Das ist nicht die Ableitung. Es fehlt ein Minus.

Zitat:

Original von Arashi
Doch die hinreichende Bedingung ist, dass f'' >0 ist, das liegt vor, oder?

Wenn f' stetig und differenzierbar ist, dann ist das äquivalent zu "f' ist monoton steigend".

08.05.2006, 21:52

Arashi

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Stimmt, es fehlt ein Minus.
Danke für deine Hilfe!
Ich wünsche dir noch einen schönen Abend, du hast mir sehr geholfen!

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