Eigenwerte und -vektoren

08.05.2006, 19:09

daN-R-G

Eigenwerte und -vektoren

Hallo Leute!

Ich habe hier nen Problem, bei dem ich an einer Stelle hänge.

Also ich habe ne gegebene Matrix $\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 1 & -3 & 3 \\ 3 & -5 & 3 \\ 6 & -6 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , von der ich die Eigenwerte und -vektoren bestimmen soll.

Um nun die Eigenwerte zu bestimmen, berechne ich $\begin{eqnarray*} \det(A-\lambda E) \end{eqnarray*}$ . Die Determinante kann ich ja nun mit der Regel von Sarrus berechnen. Nur dann hänge ich an einer Stelle:

$\begin{eqnarray*} \det(A-\lambda E) = \det\begin{pmatrix} (1-\lambda) & -3 & 3 \\ 3 & (-5-\lambda) & 3 \\ 6 & -6 & (4-\lambda) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (1-\lambda)(-5-\lambda)(4-\lambda) + (-54) + (-54) - (18(-5-\lambda)) - ((-18)(1-\lambda)) - ((-9)(4-\lambda)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(1-\lambda)(-5-\lambda)(4-\lambda) -9\lambda + 36 \end{eqnarray*}$

Wie mache ich denn nun hier weiter? Wenn ich den letzten Term nun mit 0 gleichsetze, dann muss ich ja quasi die $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ bestimmen. Aber irgendwie weiß ich da grad nicht weiter. Und wie genau bestimme ich dann die Eigenvektoren bzgl. der Eigenwerte?

08.05.2006, 19:38

milky84

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die lamdas die du dann raus bekommst sind deine eigenwerte.

die eigenvektoren berechnest du nach der Formel

A*v=EW*v

wobei A deine Matrix ist, v dein Eigenvektror und EW dein eigenwert

dann hast du ja wieder ein gleichungssystem das du nach x1,x2,x3,x4 auflöst, dann hast du deinen eigenvektor, oder deine eigenvektoren zu deinem einen eigenwert, genauso verfährst du mit den anderen eigenwerten

08.05.2006, 19:46

daN-R-G

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OKay.. dann ist das mit den EVs schonmal geklärt.

Aber wie kriege ich nun recht unkompliziert die $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ raus?

08.05.2006, 20:38

Mazze

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Zitat:

Aber wie kriege ich nun recht unkompliziert die raus?

Wie man Nullstellen von Polynomen ausrechnet weißt Du doch. Fasse alle Terme zusammen und setze das Polynom 0. Eventuel lohnt sich eine Faktorisierte Schreibweise um die Nullstellen direkt abzulesen.

Stichworte dazu:

P-Q Formel
Nullstellen raten + Polynomdivision

Eigenvektoren sind alle nichttrivialen Lösungen von
$\begin{eqnarray*} (A - \lambda I)x = 0 \end{eqnarray*}$ also der Kern der Matrix $\begin{eqnarray*} A - \lambda I \end{eqnarray*}$ .

08.05.2006, 21:51

daN-R-G

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Also ich würde dann jetzt den Term hier nehmen $\begin{eqnarray*} =(1-\lambda)(-5-\lambda)(4-\lambda) -9\lambda + 36 \end{eqnarray*}$ , dann erstmal die Klammern auflösen und dann komme ich auf $\begin{eqnarray*} -\lambda^3 + 16\lambda -20 \end{eqnarray*}$ .

Könnte das hinkommen? Irgendwie sieht mir das hässlich aus. das muss doch auch anders gehen. Und dann an dann jetzt ne Nullstelle erraten, Poly.-Div. und dann pq?

Edit: Hm... mist. irgendwie kann da was nicht stimmen. Laut ner Überlieferung müsste zumindest eine Nullstelle -2 sein, aber des geht bei mir ja hier nicht auf...

08.05.2006, 22:12

Mazze

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Dein char. polynom ist auch falsch, da haste Dich wohl an einer Stelle verrechnet. Deine Überlieferung hat recht. -2 ist sogar doppelter Eigenwert. Aufgestellt hast Du die Determinantenformel richtig muss also beim Auflösen der Klammern passiert sein. Ich Tippe mal auf Vorzeichenfehler.

08.05.2006, 22:15

Bjoern1982

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Zitat:

Also ich würde dann jetzt den Term hier nehmen $\begin{eqnarray*} =(1-\lambda)(-5-\lambda)(4-\lambda) -9\lambda + 36 \end{eqnarray*}$

Bis dahin stimmt deine Umformung.

Zitat:

dann erstmal die Klammern auflösen und dann komme ich auf $\begin{eqnarray*} -\lambda^3 + 16\lambda -20 \end{eqnarray*}$

Hier aber stimmt dein Term nicht mehr.

Meiner Meinung nach müsste folgendes rauskommen:

$\begin{eqnarray*} \lambda^3-12 \lambda -16 =0 \end{eqnarray*}$

Hier sieht man auch recht schnell für welches lambda die Gleichung null wird.

Gruß Björn

08.05.2006, 22:32

daN-R-G

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Okay... ich habs nochmal nachgerechnet. Nun stimmt es: $\begin{eqnarray*} -\lambda^3 + 12\lambda + 16 \end{eqnarray*}$ .

Danke euch! smile

Edit: Huch... deinen Post noch nicht gesehen *g*

Also sind die Nullstellen -2 und 4

Edit2: Also das sind also nun die Eigenwerte. Und nun muss meine Matrix A multipliziert mit dem Eigenvektor = Eigenwert multipliziert mit Eigenvektor sein?

09.05.2006, 10:07

klarsoweit

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Richtig! Und wie man Eigenvektoren findet, hat Mazze oben schon gesagt. Augenzwinkern

09.05.2006, 10:29

Leopold

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Zitat:

Original von Mazze
Eventuel lohnt sich eine Faktorisierte Schreibweise um die Nullstellen direkt abzulesen.

Zitat:

Original von daN-R-G
$\begin{eqnarray*} = (1-\lambda)(-5-\lambda)(4-\lambda) -9\lambda + 36 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (1-\lambda)(-5-\lambda)(4-\lambda) + 9 (4 - \lambda) \end{eqnarray*}$

Und wie geht es vorteilhaft weiter?

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