Surjektivität (Beweis)

04.08.2008, 12:01

Altair

Surjektivität (Beweis)

Moinmoin!

Sei $\begin{eqnarray*} f : M \to N \end{eqnarray*}$ Funktion. Ich soll zeigen, dass folgende Äquivalenz gilt:
$\begin{eqnarray*} f \text{ surjektiv} \Leftrightarrow \forall y \in N \exists x \in M : f(x) = y \end{eqnarray*}$

Angefangen bin ich mit:
" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ": Sei $\begin{eqnarray*} f : M \to N \end{eqnarray*}$ surjektiv, dann existiert eine Abbildung $\begin{eqnarray*} g : N \to M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f \circ g = \operatorname{id}_N \end{eqnarray*}$ . (So hatten wir in der Vorlesung zunächst Surjektivität definiert) Jetzt weiß ich, dass es ein $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} x=g(y) \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} y \in N \end{eqnarray*}$ )

Aber irgendwie fällt mir jetzt nichts gescheites mehr ein glaub ich...

Oder kann ich sagen, dass dadurch, dass g existiert, für jedes $\begin{eqnarray*} y \in N \end{eqnarray*}$ ein solches x existiert?

Gruß, Altair

04.08.2008, 12:11

therisen

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Ja, zu vorgegebenem y kannst du x:=g(y) wählen. Dann gilt f(x)=f(g(y))=y.

04.08.2008, 12:12

Altair

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Und dann bin ich mit der ersten Richtung des Beweises fertig?

04.08.2008, 12:41

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Moin,
ja dann bist du fertig.

Wie gesagt, du weißt das f surjektiv ist, also gibt es dieses g.

Da g eine Funktion / (oder auch (totale) Abbildung) ist, ist für alle y aus N g(y) definiert.
Dann definiere dir x := g(y), x Element aus M.

=> f(x) = f(g(y)) = y, da ja f(g( )) die Id. ist.

Hoffe ist soweit klar.

04.08.2008, 14:19

Altair

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Jo, jetzt ist alles klar Augenzwinkern

Danke euch!

04.08.2008, 19:01

Altair

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Jetzt hab ich doch nochmal eine Frage... Ist zwar nicht zur Surjektivität sondern zur Injektivität (hängt ja doch irgendwie thematisch zusammen)

Der Beweis für
$\begin{eqnarray*} f \text{ injektiv}\Leftrightarrow \forall x, y \in M : x \neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y) \end{eqnarray*}$
läuft doch nicht analog, oder? Kann ich hier für die " $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ "-Richtung mit Kontraposition arbeiten und z.B. annehmen, dass $\begin{eqnarray*} f(x) = f(y) \end{eqnarray*}$ ?

Ich würde dann so beginnen:
" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ": Sei $\begin{eqnarray*} f: M \to N \end{eqnarray*}$ eine injektive Funktion. Nach Definition der Injektivität exisitert dann eine Funktion $\begin{eqnarray*} g : N \to M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g \circ f = \operatorname{id}_M \end{eqnarray*}$ . Weiter seien $\begin{eqnarray*} x,y \in M \end{eqnarray*}$ .

Annahme: $\begin{eqnarray*} f(x) = f(y) \end{eqnarray*}$

Naja, jetzt hab ich keine Idee wie ich anfangen soll... Oder ist die Kontraposition eh sinnfrei Augenzwinkern

? Könnt ich mich ein wenig weiterbringen?

04.08.2008, 19:13

therisen

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Zitat:

Original von Altair
Annahme: $\begin{eqnarray*} f(x) = f(y) \end{eqnarray*}$

Dann gilt auch g(f(x))=g(f(y)).

04.08.2008, 20:06

Altair

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und das würde heißen, dass auch x=y wärde da ja $\begin{eqnarray*} g \circ f = id_M \end{eqnarray*}$ und da wär der Widerspruch, oder?

04.08.2008, 20:09

kiste

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Ja aber nicht Widerspruch. Das ist ein indirekter Beweis kein Widerspruchsbeweis

04.08.2008, 21:07

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Hallo,
persönlich find ich eure Definitionen von surjektivität und injektivität etwas merkwürdig.

Wir haben es so definiert:
f : M -> N ist surjektiv :<=> $\begin{eqnarray*} \forall y \in N \exists x \in M : f(x) = y \end{eqnarray*}$

f : M -> N ist injektiv :<=> $\begin{eqnarray*} \forall x,y \in M: f(x) = f(y) \Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$

(So ist es auch bei z.B. Wikipedia definiert)

Diese Definition finde ich deutlich intuitiver und in der Praxis wendet man meistens dieses an(, oder?).
Eure Definition finde ich persönlich viel unpraktischer und wird glaub ich eher nur selten Verwendung finden.
Warum also dann nicht die Form nehmen, die man eh am meisten braucht und zeigen, dass dieses mit eurem Äquivalent ist?

Evt. als kleine Anregung an den Dozenten.

04.08.2008, 21:07

Altair

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ich dachte immer das sei synonym... verwirrt

Ich habe doch aber einen Widerspruch hergeleitet, oder nciht?

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