holomorph <=> analytisch

04.08.2008, 14:43

o.B.d.A.

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holomorph <=> analytisch

Hallo zusammen!

Ich beschäftige mich gerade mit Funktionentheorie. Neben dem Skript habe ich auch bei Wikipedia gelesen und bin dabei auf die Aussage "Funktion holomorph $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ analytisch" gestoßen. In dem mir vorliegenden Skript ist diese Aussage aber an die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} f \in C^1(U,\mathbb C) \end{eqnarray*}$ geknüpft.
Sehe ich es richtig, dass man in der Funktionentheorie unter $\begin{eqnarray*} f \in C^1(U,\mathbb C) \end{eqnarray*}$ versteht, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ reell stetig (partiell) differenzierbar ist?
Ich weiß bereits, dass aus Holomorphie bereits die oben genannte Voraussetzung folgt. Aber folgt diese auch aus der Analytizität? Dann wäre ja die allgemeine Aussage aus Wikipedia verständlich.

Außerdem ist mir aufgefallen, dass im Skript der Riemannsche Hebbarkeitssatz wie folgt lautet:
Sei $\begin{eqnarray*} f: B_r(b)\backslash {b} \rightarrow \mathbb C \end{eqnarray*}$ holomorph und beschränkt. Dann existiert eine analytische Forsetzung $\begin{eqnarray*} F: B_r(b) \rightarrow \mathbb C \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Im Netz bin ich aber auf den Satz mit Holomorphie anstatt Analytizität gestoßen. Wenn die allgemeine Aussage aus Wikipedia korrekt ist, könnte ich ja im Satz "analytisch" durch "holomorph" ersetzen und hätte die im Netz gefundene Aussage.

Würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!

Viele Grüße

04.08.2008, 14:56

therisen

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RE: holomorph <=> analytisch

Zitat:

Original von o.B.d.A.
Sehe ich es richtig, dass man in der Funktionentheorie unter $\begin{eqnarray*} f \in C^1(U,\mathbb C) \end{eqnarray*}$ versteht, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ reell stetig (partiell) differenzierbar ist?

Ist wohl eine Definitionsfrage. Holomorphie impliziert aber, dass die Funktion reell stetig differenzierbar ist.

Jedenfalls ist komplexe Differenzierbarkeit echt stärker als reelle Differenzierbarkeit (vgl. Cauchy-Riemannsche-DGLen). Es gibt auch Funktionen, die nirgends holomorph sind, aber in gewissen (überabzählbar vielen) Punkten komplex-differenzierbar sind. Tatsächlich sind Holomorphie und Analytizität auf offenen Mengen äquivalent.

04.08.2008, 17:10

system-agent

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Noch als kleine Ergänzung:

Komplexe Differenzierbarkeit ist etwas ausserordentlich lokales, nämlich wie therisen andeutete:
Es kann passieren dass eine Funktion nur an einzelnen Punkten komplex dfb ist (zb. Konjugation nur an einzelnen Achsen).

Holomorphie ist, salopp gesagt, komplexe Differenzierbarkeit an einem Punkt und noch ein bischen drum herum [exakter: holomorph im Punkt $\begin{eqnarray*} z_0\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ wenn es in $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ komplex Differenzierbar ist und zusätzlich noch eine Umgebung von $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ gibt so, dass die Funktion in allen Punkten dieser Umgebung auch noch komplex dfb ist]

Speziell den Begriff "analytisch" kenne ich folgend:
Eine Funktion ist analytisch wenn sie in eine Taylorreihe entwickelbar ist (und die Reihe natürlich auch gegen die Funktion konvergiert).
Daher auch die Sache mit der offenen Menge die therisen angesprochen hat:
Jede holomorphe Funktion ist (in einem gewissen Radius) in eine Taylorreihe entwickelbar und damit sind die Begriffe "Holomorphie" und "Analytizität" gleichwertig.

05.08.2008, 11:05

o.B.d.A.

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Erst einmal danke für eure Antworten!

Sorry, dass ich nicht die Def. von "analytisch" nochmal angegeben habe. Mir sind nämlich auch zwei verschiedene Def. bekannt:
1. Die von system-agent genannte

Zitat:

Eine Funktion ist analytisch wenn sie in eine Taylorreihe entwickelbar ist (und die Reihe natürlich auch gegen die Funktion konvergiert).

2. Die mir aus dem Skript vorliegende:
$\begin{eqnarray*} f:U\rightarrow \mathbb C \end{eqnarray*}$ heißt analytisch, falls es für alle $\begin{eqnarray*} b \in U \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} r > 0 \end{eqnarray*}$ und Zahlen $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb N_0} \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} f(z)= \sum_{n=0}^\infty~a_n(z-b)^n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} z \in B_r(b) \end{eqnarray*}$ .

Nach 2. bedeutet $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ analytisch also, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ um jeses $\begin{eqnarray*} z \in U \end{eqnarray*}$ lokal als Potenzreihe darstellbar ist.

Aber diese Potenzreihe muss doch nicht der Taylorreihe entsprechen, oder?
Ist vielleicht deshalb die Voraussetzung des folgendes Satzen bei oben genannter Def. nötig?:

Für eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \in C^1(U,\mathbb C) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ holomorph genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ analytisch ist.

Nur nebenbei zum Verständnis:
Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ reell stetig differenzierbar ist, bedeutet das doch, dass ich $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ auffasse und die Einträge der Jacobi-Matrix (also die partiellen Ableitungen) stetig sein müssen, oder?

05.08.2008, 12:27

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von o.B.d.A.
Aber diese Potenzreihe muss doch nicht der Taylorreihe entsprechen, oder?

Doch, natürlich. Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in einer Umgebung eines Punktes durch eine Potenzreihe (mit diesem Punkt als Entwicklungspunkt) darstellbar, dann ist die Taylorreihe von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit ebendiesem Entwicklungspunkt gerade diese Potenzreihe.

Zitat:

Original von o.B.d.A.
Nur nebenbei zum Verständnis:
Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ reell stetig differenzierbar ist, bedeutet das doch, dass ich $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ auffasse und die Einträge der Jacobi-Matrix (also die partiellen Ableitungen) stetig sein müssen, oder?

Ja.

05.08.2008, 15:54

o.B.d.A.

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in einer Umgebung eines Punktes durch eine Potenzreihe (mit diesem Punkt als Entwicklungspunkt) darstellbar, dann ist die Taylorreihe von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit ebendiesem Entwicklungspunkt gerade diese Potenzreihe.

Das klingt eigentlich einleuchtend, da ja die Taylorreihe eine Potenzreihe ist. Allerdings ist durch die Darstellbarkeit in eine Potenzreihe nicht garantiert, dass die Taylorreihe existiert, oder?

Dass aus Holomorphie Analytizität folgt ist mir klar. Aber kann mir nochmal jemand erklären, warum die Rückrichtung gilt? Warum folgt aus der Darstellbarkeit als Potenz- oder Taylorreihe die Holomorphie?

Und wieso folgt aus der Analytizität einer Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} f \in C^1(U,\mathbb C) \end{eqnarray*}$ ?

Sorry, dass ich so darauf herumreite smile

smile

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05.08.2008, 16:58

system-agent

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Ihr hattet sicherlich einen Satz der sagt, dass
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n \end{eqnarray*}$
innerhalb des Konvergenzkreises eine holomorphe Funktion definiert (dass die nach eurer Definition analytisch ist ist klar).

Nehmen wir mal deine Definition der Analytizität, es gibt also Zahlen $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ so, dass
$\begin{eqnarray*} f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ der Entwicklungspunkt.
Nun nehmen wir auch an, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in eine Taylorreihe entwickelbar ist (um $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ ), das heisst
$\begin{eqnarray*} f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n \end{eqnarray*}$

Innerhalb eines gemeinsamen Radius um $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ sollen beide Reihen konvergieren, das heisst innerhalb hat man
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n \end{eqnarray*}$
für jedes "innere" $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ . Was muss dann für die Folge der Zahlen $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ gelten?

Damit sind Holomorphie und Analytizität das gleiche.

05.08.2008, 18:56

Mathespezialschüler

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Jede auf einer offenen Menge konvergente Potenzreihe ist dort unendlich oft differenzierbar und kann gliedweise differenziert werden (das sollte bekannt sein - es folgt z.B. aus der Tatsache, dass die gliedweise differenzierte Reihe einer Potenzreihe auf jeder kompakten Teilmenge des Konvergenzbereiches gleichmäßig konvergiert). Berechnet man nun für

$\begin{eqnarray*} f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}~a_k(z-z_0)^k \end{eqnarray*}$

die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Ableitung durch gliedweise Differentiation, so bekommt man speziell

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(z_0)=n!a_n \end{eqnarray*}$ .

Daraus ergibt sich, dass die Summenfunktion der Potenzreihe in eine Taylorreihe entwickelt werden kann und dass die Taylorreihe nichts anderes als die ursprüngliche Potenzreihe selbst ist.

10.08.2008, 14:59

o.B.d.A.

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Ich habs verstanden! smile

smile

Vielen Dank für eure ausführlichen Antworten!

09.12.2008, 21:59

koeffizient

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C-unendlich und C analytisch
Hallo!

Ich habe eine Frage die thematisch dazupasst, und sich auf den Unterschied von C-unendlich und C analytisch bezeiht.

f $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ C-unendlich bedeutet, dass f unendlich oft differenzierbar ist, jedoch nicht notwendigerweise, dass f in eine Potenzreihe entwickelt werden kann.

Ist f analytisch (holomorph) dann kann f in eine Potenzreihe entwickelt werden.

Sind diese beiden Aussagen richtig?

Vielen Dank für eure Hilfe!

13.12.2008, 13:54

koeffizient

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C-unendlich C-analytisch
Ich hab noch eine Ergänzung zu meiner Frage

Ist f:R-->R C-unendlich Funtkion dann bedeutet, dass nicht notwendigerweise, dass f in eine Potenzreihe entwickelt werden kann.
z.B f(x)=e^x^-2 für x $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 f(x)=0

Ist f:R-->R auf ganz R C-unendlich Funktion und f kann in eine Potenzreihe entwickelt werden, dann bedeutet dass nicht notwendigerweise dass f auf ganz R analytisch ist.
z.B f(x)=1/(1+x^2) kann in eine Potenzreihe mit Radius R=1 entwickelt werden

Ist f: $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ holomorph dann auch analytisch (wie oben beschrieben)

Ich denke das stimmt jetzt so?

13.12.2008, 18:30

Mathespezialschüler

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Die erste und dritte Aussage sind richtig. Bei der zweiten würd ich gern wissen, was bei dir "analytisch" bedeutet, bevor ich was dazu sage. Deine Formulierung ist aber auch so ziemlich uneindeutig.

13.12.2008, 19:12

koeffizient

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f ist analytisch auf ganz R wenn f in eine Potenzreihe mit Konvergenzradius ganz R entwickelt werden kann.
Das scheint falsch zu sein.

Bedeutet f ist analytisch lediglich, dass f in eine Potenzreihe entwickelt werden kann, sagt aber nichts über den Konvergenzradius aus?

Also ist f(x)/1+x^2 auf ganz R reell-analytisch, weil auf ganz R differenzierbar?

13.12.2008, 19:34

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von koeffizient
f ist analytisch auf ganz R wenn f in eine Potenzreihe mit Konvergenzradius ganz R entwickelt werden kann.

Was ist denn ein Konvergenzradius ganz R? Meinst du damit Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ , d.h. dass sie auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ konvergiert?

Ich kenne tatsächlich eine andere Definition, nämlich dass es um jeden Punkt eine Umgebung gibt, in der $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in eine Potenzreihe entwickelbar ist.

Falsch können Definitionen nicht sein. Es geht also einfach darum, welche Definition ihr hattet.

13.12.2008, 19:59

koeffizient

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Ja ich habe Konvergenzradius unendlich gemeint.

Das Problem ist, dass wir den Begriff in der Vorlesung Funtkionentheorie nicht definiert haben.

Wir haben lediglich das Beispiel (1/(1+x^2) erwähnt.
Diese Funktion ist auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ reell-analytisch besitzt aber nur einen Konvergenzradius R=1.
Erst im Komplexen erkennt man anhand der Singularitäten warum der Konvergenzradius lediglich eins ist.

Wenn ich deine Definition anwende heißt dass, das ich diese Funktion um jedem Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ in eine Potenzreihe entwickeln kann.

Mit dem Konvergenzradius hat der Analytizitätsbereich also a priori nichts zu tun.

Wenn das so stimmt, hab ichs verstanden!

Vielen Dank Freude

Freude

13.12.2008, 21:17

Mathespezialschüler

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Ja, genau.

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