Parameterschätzen/Fehlerbalken

09.05.2006, 12:48

Havoide

Parameterschätzen/Fehlerbalken

Hallo!

Also ich habe da folgende Aufgabe:

Zitat:

Zur Abschätzung der Länge x eines Objekts wird eine Stichprobe $\begin{eqnarray*} \underline{x}=\left(x_{1},x_{2},...,x_{N}\right) \end{eqnarray*}$ vom Umfang $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ bestimmt. Die einzelnen Messwere sind nicht korreliert und streuen um den wahren Wert $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gemäß einer Normalverteilung
$\begin{eqnarray*} p\left(x_{j}|\sigma,B\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}exp\left(-\frac{\left(x-x_{j}\right)^{2}}{2\sigma^{2}}\right) \end{eqnarray*}$
Alle Fehler haben dasselbe Fehlernieveau $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$

a) Ermitteln Sie die Likelihoodfunktion $\begin{eqnarray*} p\left(\underline{x}|x,\sigma,B\right) \end{eqnarray*}$

b)Wie lautet die Posterior Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p(x|\underline{x},\sigma,B) \end{eqnarray*}$ unter der Annahme, dass alle Werte von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ a priori gleich wahrscheinlich sind.

Also Aufgabe a) habe ich gemacht, das kommt dann auch das Richtige heraus. Bei Aufgabe b) habe ich den Satz von Bayes benutzt:
$\begin{eqnarray*} p(x|\underline{x},\sigma,B) = \frac{1}{p(\underline{x}|\sigma,B)} p(\underline{x}|x,\sigma,B)p(x|\sigma,B) \end{eqnarray*}$
Dann gilt ja weiter: $\begin{eqnarray*} p(x|\sigma,B)=p(x|B)=const. \end{eqnarray*}$ und im Nenner, also $\begin{eqnarray*} p(\underline{x}|\sigma,B) \end{eqnarray*}$ ist ja unabhängig von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , also kann ich die obige Konstante und $\begin{eqnarray*} p(\underline{x}|\sigma,B) \end{eqnarray*}$ zusammenfassen, die beiden zusammen ergeben eigentlich nur die richtige Normierung für den Nenner, oder? Ich nenne also $\begin{eqnarray*} \frac{p(x|\sigma,B)}{p(\underline{x}|\sigma,B)}=Z \end{eqnarray*}$ Denn es muss ja gelten $\begin{eqnarray*} \int p(x|\underline{x},\sigma,B) dx = 1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \int p(\underline{x}|x,\sigma,B) dx = \frac{1}{Z} \end{eqnarray*}$ . Für die Likelikehoodfunktion kommt nun aber schon was Normiertes heraus, also $\begin{eqnarray*} Z=1 \end{eqnarray*}$ , damit wären prior und posterior-Wahrscheinlichkeit gleich. Nun weiß ich nicht, ob das stimmt smile

, wäre für hilfe dankbar.

Dann habe ich noch eine weitere Aufgabe:

Zitat:

Es wird der Strom I als Funktion der angelegten Spannung $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ eines ohmschen Widerstandes gemessen: $\begin{eqnarray*} I_{i}=RU_{i} \end{eqnarray*}$
Die Messung wird für $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ unterschiedliche Werte der Steuergröße $\begin{eqnarray*} U_{i} \end{eqnarray*}$ durchgeführt. Die Messerte $\begin{eqnarray*} \widetilde{I}_{i} \end{eqnarray*}$ steuen grmäß einer Normalverteilung mit Standardabweichung $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ um den wahren Werte $\begin{eqnarray*} I_{i}=R U_{i} \end{eqnarray*}$ . Es wird eine Ausgleichsgerade durch die Datenpunkte gelegt.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ , dass ein Messewert mehr als die Standardabweichung vom wahren Wert entfernt liegt.

Also mein Ansatz war da Folgendes: Ich habe ja eine normierte Wahrscheinlichkeitsdiche (siehe oben), also ist die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ , dass ein beliebiger Messwert ausserhalb liegt, einfach durch das entsprechende Integral gegeben, nämlich
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{x-\sigma} p(x_{j}|\sigma) dx_{j} + \int_{x+\sigma}^{\infty} p(x_{j}|\sigma)dx_{j} \end{eqnarray*}$ , nun weiß ich aber nicht, was ich mit diesem Integral anfangen soll.
Dann hab ichs noch anders versucht, nämlich als
$\begin{eqnarray*} 1 - 2\int_{x}^{x+\sigma}p(x_{j}|\sigma)dx_{j} \end{eqnarray*}$ . Das kann ich dann noch in Form von Error-Function o.ä. schreiben, aber einen analytischen Ausdruck bekomme ich dafür auch nicht.

09.05.2006, 20:07

Havoide

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Lösung
Also zum zweiten Problem habe ich mittlerweile die Lösung, falsche Integrationsgrenzen, wenn man die richtigen nimmt, fällt in der Errorfunktion korrekterweise das Sigma raus und es bleibt wie erwartet nur eine Zahl übrig.

Beim ersten Problem wäre es schön, wenn jemand vielleicht meine Rechnung bestätigen (oder kritisieren *gg*) könnte.

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