Funktionenschar - Exponential

09.05.2006, 12:50

Wedel

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Funktionenschar - Exponential

Hallo Zusammen,

Ich komme gerade einfach nicht weiter, und weiss nicht warum.
Gut, es währe sehr nett wenn mir jemand weiter helfen könnte.

Gegeben ist die Funktionsschar $\begin{eqnarray*} f(x)=x-k*e^x \end{eqnarray*}$ mit beliebigem k ungleich 0!
a)Nun bleibe ich schon bei den Nullstellen hängen: wir sollen die Nullstellen von "k=1" ausrechnen.

Hier ist einfach mein Problem das ich
$\begin{eqnarray*} 1=x*e^x \end{eqnarray*}$
nicht mehr weiss wie ich nun die Funktion weiter nach x auflösen kann!

b) Untersuchen Sie die Funktion und zeigen Sie, dass die Hochpunkte auf der Geraden mit der Gleichung $\begin{eqnarray*} y=x-1 \end{eqnarray*}$ liegen.

c) Vom Nullpunkt lasst sich an jede Kurve genau eine Tangente legen. Wo berürt diese Tangente die zugehörige Kurve?

Bitte um Hilfe...Danke
Wedel

09.05.2006, 12:54

marci_

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zu a) du musst für k 1 einsetzen und das dann gleich 0 setzen

zub) damit ist die kurve der hochpunkte gemeint...
rechne erst einmal die hochpunkte aus...

09.05.2006, 12:56

Dual Space

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RE: Funktionenschar - Exponential

Zitat:

Original von Wedel
Hier ist einfach mein Problem das ich
$\begin{eqnarray*} 1=x*e^x \end{eqnarray*}$
nicht mehr weiss wie ich nun die Funktion weiter nach x auflösen kann!

Wie kommst du denn darauf? verwirrt

verwirrt

Für k=1 erhalte ich

$\begin{eqnarray*} f_1(x)=x-e^x\overset{!}{=} 0 \end{eqnarray*}$

09.05.2006, 12:56

Wedel

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@marci_:
Das ist mir sehr klar...! Allerdings weiss ich nicht mehr was ich machen muss wenn ich $\begin{eqnarray*} 1=x*e^x \end{eqnarray*}$ habe um nach x aufzulösen!

Zu B) Wie errechne ich hier denn die Ableitung?

Trotzdem Danke für die Antwort!

09.05.2006, 12:57

JochenX

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wieso denn 1=x*e^x?
das ist doch 1=x-e^x

Evtl. kannst du da was mit LambertW machen, aber ich vermute, du kennst das genauso wenig wie ich Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dann könntest du hier ein Näherungsverfahren versuchen.

Allerdings wirst du in beiden Fällen nicht fündig werden...

Also musst du beweisen, dass es keine Nullstelle von $\begin{eqnarray*} y=e^x-x+1 \end{eqnarray*}$ gibt.
Zeige z.B., dass f(0) der kleinste Funktionswert ist.

b) Na dann berechne doch mal allgemein die Hochpunkte, wie macht man das?

c) was müsste für diese Tangente gelten? wie sieht sie allgemein aus.

09.05.2006, 12:59

Dual Space

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Zitat:

Original von LOED
wieso denn 1=x*e^x?
das ist doch 1=x-e^x

Irgendwie stehe ich wohl auf dem Schlauch. verwirrt

verwirrt

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09.05.2006, 13:00

Wedel

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@Dual Space
Ich bin etwas aus der Übung! Hammer

Hammer

Nun Ja: Wie kommt man denn dort hin?
Bitte einmal für dumme. Und wie errechne ich dann die Nullstelle???

09.05.2006, 13:05

Dual Space

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Die Nullstelle(n) wären graphisch gesehen der/die Schnittpunkt(e) der Funktionen x und exp(x), aber

09.05.2006, 13:07

JochenX

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argh, ja, die 1 habe ich ausversehen übernommen.... Hammer

Hammer

es geht um $\begin{eqnarray*} x-e^x=0 \end{eqnarray*}$
aber danach kannst du fortschreiten wie oben vorgeschlagen; e^x-x hat nämlich genauso seinen Tiefpunkt bei x=0

und da dieses Minimum >0 ist...

09.05.2006, 13:08

Wedel

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Noch einmal die Frage:

Warum ist $\begin{eqnarray*} 0=x-e^x \end{eqnarray*}$ richtig
und nicht $\begin{eqnarray*} 1=x*e^x \end{eqnarray*}$ ?

09.05.2006, 13:10

Dual Space

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Weil $\begin{eqnarray*} f_1(x)=x-e^x \end{eqnarray*}$ . Wo zauberst du denn da die 1 her?

09.05.2006, 13:16

Wedel

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Ok Ok...
Nun habe ich also $\begin{eqnarray*} 0=x-e^x \end{eqnarray*}$ !
Jetzt dividiere ich durch x ?!?: $\begin{eqnarray*} 0=e^x \end{eqnarray*}$
Dann ln also:
$\begin{eqnarray*} ln(0)=ln(e^x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(0)=x*ln(e) \end{eqnarray*}$

Aber ln(0) ist ja nicht zulässig bez. geht ja nicht...also gibts keine Nullstellen oder wie???

09.05.2006, 13:18

Dual Space

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Zitat:

Original von Wedel
Nun habe ich also $\begin{eqnarray*} 0=x-e^x \end{eqnarray*}$ !
Jetzt dividiere ich durch x ?!?: $\begin{eqnarray*} 0=e^x \end{eqnarray*}$

unglücklich

Um Gottes Willen!!!!! Nein!

Du must x subtrahieren. Und außerdem wäre dein Divisionsergebnis falsch!

09.05.2006, 13:22

Wedel

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Es tut mir leid..ich bin eben einfach aus der Übung! Ok
Dann habe ich also
$\begin{eqnarray*} -x=e^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln(-x)=ln(e^x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln(-x)=x*ln(e) \end{eqnarray*}$

Ists so richtig...aber was mache ich jetzt?

09.05.2006, 13:26

Dual Space

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Zitat:

Original von Wedel
Es tut mir leid..ich bin eben einfach aus der Übung!

Kein Problem, dafür sind wir ja da. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Dann habe ich also
$\begin{eqnarray*} -x=e^x \end{eqnarray*}$

Nein du hast dann $\begin{eqnarray*} -x=-e^x \end{eqnarray*}$ . Und aus dem Plots oben (LOED's und meiner) weißt du schon, dass es keine Nullstellen gibt. Natürlich musst du dies noch begründen, aber eigentlich folgt das schon daraus, dass das Minimum von $\begin{eqnarray*} f_1(x) \end{eqnarray*}$ in x=0 liegt und der Funktionswert dafür >0 ist. Lies dir am Besten nochmal LOED's Post ganz genau durch, da steht eigentlich schon alles drin. Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.05.2006, 13:45

Wedel

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Danke schonmal für die Hilfe.
Nun bin ich bei aufgabenteil b): Ableiten mit der Produktregel:
$\begin{eqnarray*} u(x)=x-k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'(x)=1 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} v(x)=e^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'(x)=e^x \end{eqnarray*}$

Ich denke mal das dies soweit richtig ist?!?!

Nun bekomme ich also:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=(1*e^x)+(x-k*e^x) \end{eqnarray*}$
Wie kann man dies am besten Zusammenfassen bez. was ließe sich hier noch vereinfachen? Ausser dass ich $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ausklammern könnte, oder?
Also:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=e^x(x-k) \end{eqnarray*}$
Ist dies richtig??

09.05.2006, 13:49

klarsoweit

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Au wei! Wieso willst du da mit Produktregel ran?

09.05.2006, 13:51

Wedel

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Was sollte ich sonst anwenden???

09.05.2006, 13:58

klarsoweit

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RE: Funktionenschar - Exponential
Deine Funktion ist doch $\begin{eqnarray*} f(x)=x-k*e^x \end{eqnarray*}$
Betrachte das k als Konstante und nimm einfach die Summenregel.
Die Produktregel käme in Frage, wenn da stünde: $\begin{eqnarray*} f(x)=(x-k)*e^x \end{eqnarray*}$

09.05.2006, 14:04

Wedel

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Also sollte ich
$\begin{eqnarray*} s'(x)=u'(x)+v'(x) \end{eqnarray*}$ anwenden?
Ich habe die SummenRegel noch nie benutzt! Geht es denn nicht mit der Produktregel?

09.05.2006, 14:23

klarsoweit

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Genau diese. Aber du willst mir doch nicht ernsthaft erzählen, daß du die Summenregel nicht kennst, aber dafür die Produktregel? Die Produktregel braucht man für das Produkt von Funktionen. Und wo hast du hier ein Produkt von Funktionen?

09.05.2006, 14:27

Wedel

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Ich habe sie meines Wissens noch nicht benutzt, aber ist ja egal.
Also dann bekomme ich ja aus
$\begin{eqnarray*} u'(x)=1 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} v'(x)=e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s'(x)=u'(x)+v'(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s'(x)=1+e^x \end{eqnarray*}$

Das wars??
Dies gleich null gesetzt:
$\begin{eqnarray*} 0=1+e^x \end{eqnarray*}$ | $\begin{eqnarray*} -e^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -e^x=1 \end{eqnarray*}$ bez. $\begin{eqnarray*} e^x=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x*ln(e)=-1 \end{eqnarray*}$ ???
Ich komme irgendwie nicht weiter...! verwirrt

verwirrt

Danke schonmal für die große Hilfe!

09.05.2006, 14:31

klarsoweit

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RE: Funktionenschar - Exponential
Halt! Was ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} v(x)=k*e^x \end{eqnarray*}$ ?

09.05.2006, 14:37

Wedel

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Upps, Richtig hab ich vergessen: meiner meinung ist die ableitung von $\begin{eqnarray*} v(x)=k*e^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'(x)=e^x*k \end{eqnarray*}$ da die ableitung von $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ immer noch $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ist und k nicht abgeleited wird. Oder?

$\begin{eqnarray*} u'(x)=e^x*k \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} v'(x)=e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s'(x)=u'(x)+v'(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s'(x)=1+(e^x*k) \end{eqnarray*}$

Wie kann man dies nun auflösen???

09.05.2006, 14:49

klarsoweit

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Zitat:

Original von Wedel
$\begin{eqnarray*} u'(x)=e^x*k \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} v'(x)=e^x \end{eqnarray*}$

Was du damit willst, weiß ich jetzt nicht. Die Ableitung ist jetzt aber richtig, wenn du statt s den Buchstaben f schreibst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT: Halt! Vorzeichen ist noch falsch!

09.05.2006, 14:57

Wedel

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ok!
$\begin{eqnarray*} f'(x)=1-(e^x*k) \end{eqnarray*}$
Ich will nun die Extrempunkte finden:
also
$\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1-(e^x*k)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -e^x*k=-1 \end{eqnarray*}$ und nun | $\begin{eqnarray*} durch (-1) \end{eqnarray*}$

Wie löst man das bitte jetzt weiter auf?

Gehts so weiter?:
$\begin{eqnarray*} e^x=\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$
und dann ln anwenden? also:
$\begin{eqnarray*} ln(e^x)=ln(\frac{1}{k}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x*ln(e)=ln(\frac{1}{k}) \end{eqnarray*}$
???

09.05.2006, 15:02

klarsoweit

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RE: Funktionenschar - Exponential
Fast richtig. Leider ist da noch ein Vorzeichenfehler in der Ableitung. Siehe auch das EDIT von meinem letzten Beitrag.
Ansonsten: was ist ln(e^x) ?

EDIT: Vorzeichen sind inzwischen korrigiert.

09.05.2006, 15:06

Wedel

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RE: Funktionenschar - Exponential

Zitat:

Original von klarsoweit
Fast richtig. Leider ist da noch ein Vorzeichenfehler in der Ableitung. Siehe auch das EDIT von meinem letzten Beitrag.

Ist die nicht so in ordnung?
Habe das Vorzeichen ja geändert!

Zitat:

Original von klarsoweit
Ansonsten: was ist ln(e^x) ?

Ich weiss es nicht! ISt es nichts im grunde nichts, also 0?

09.05.2006, 15:14

klarsoweit

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RE: Funktionenschar - Exponential
OK. Das mit den Vorzeichen stimmt jetzt. Ich hatte deine Änderungen nicht gesehen.

ln ist doch die Umkehrung der e-Funktion. Also ist ln(e^x) nicht Null, sondern ?

09.05.2006, 15:16

Wedel

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RE: Funktionenschar - Exponential

Zitat:

Original von klarsoweit
OK. Das mit den Vorzeichen stimmt jetzt. Ich hatte deine Änderungen nicht gesehen.

ln ist doch die Umkehrung der e-Funktion. Also ist ln(e^x) nicht Null, sondern ?

Also ist es dann x??

09.05.2006, 15:20

klarsoweit

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RE: Funktionenschar - Exponential
Genau! Freude

Freude

09.05.2006, 15:32

Wedel

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Tanzen

SUPER!!! DANKE!
Nun noch ne Frage Gott

Gott

Wenn ich die 2te ableitung nun machen will benutze ich dann auch die Summenregel?
Also die erste ableitung ist ja:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=1-(e^x*k) \end{eqnarray*}$

Oder wende ich hier nun die Produktregel an?

09.05.2006, 15:37

klarsoweit

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RE: Funktionenschar - Exponential

Zitat:

Original von Wedel
b) Untersuchen Sie die Funktion und zeigen Sie, dass die Hochpunkte auf der Geraden mit der Gleichung $\begin{eqnarray*} y=x-1 \end{eqnarray*}$ liegen.

Das mußt du aber noch zeigen.

Für die 2. Ableitung nimmst du auch die Summenregel.

09.05.2006, 15:54

Wedel

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RE: Funktionenschar - Exponential

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Wedel
b) Untersuchen Sie die Funktion und zeigen Sie, dass die Hochpunkte auf der Geraden mit der Gleichung $\begin{eqnarray*} y=x-1 \end{eqnarray*}$ liegen.

Das mußt du aber noch zeigen.

Und wie mache ich dies wiederrum?
Setzt ich die erste ableitung gleich mit y=x-1 ?? dass kann ja eigentlich nicht sein, oder?

09.05.2006, 15:59

klarsoweit

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Du hast doch jetzt gezeigt, daß $\begin{eqnarray*} x_k = ln(\frac{1}{k}) \end{eqnarray*}$ die Extremstellen sind. (Mal abgesehen davon, daß du noch zeigen mußt, daß die 2. Ableitung an diesen Stellen < Null ist.) Jetzt brauchst du zu diesen Extremstellen die jeweiligen y-Werte y_k. Dann mußt du schauen, wie die Punkte (x_k | y_k) liegen.

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