Gruppenordnungen |
| 09.05.2006, 15:50 | donkarabelas | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Gruppenordnungen auf der Uni haben wir heute 2h über folgendes Problem diskutiert und sind auf kein Ergenis gekommen: Finden Sie (bis auf Isomorphie) alle Gruppen mit 3,5,7 Elementen. Zeigen Sie, daß es (bis auf Isomorphie) nur 2 Gruppen der Ordnung 4 gibt. Zeigen Sie, das jede Gruppe der Ordnung 6 entweder zyklisch oder isomorph zur symetrischen Gruppe ist. Irgend einen Hinweis wie man das angehen könnte? mfg Elias |
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| 12.05.2006, 16:30 | quarague | Auf diesen Beitrag antworten » |
cih würde wie folgt herangehen: man beweist/kennt ein paar Sätze über endliche Gruppen, in dieser Aufgabe sind zum Beispiel folgende sehr nützlich: Sei G eine endliche Gruppe der Ordnung n und U eine Untergruppe. Dann muss die Ordnung von U ein Teiler von n sein. Sei G eine endlich Gruppe der Ordnung n und g ein Element von G. Dann muss die Ordnung von g ein Teiler von n sein. Das neutrale Element eine Gruppe ist eindeutig, daher es gibt genau ein Element mit Ordnung 1. Mit diesen Sätzen bekommt man sehr schnell, das es jeweils genau eine Gruppe mit 3,5 oder 7 Elementen gibt, da 3,5,7 Primzahlen sind, jeweils die zyklische Gruppe. für 4 und 6 Elemente setzt man eine Fallunterscheidung an. für n=4 1. Fall es gibt ein Element mit Ordnung 4 => G ist die zyklische Gruppe 2. Fall es gibt kein solches Element gibt den Elementen Namen, zB e,a,b,c und male eine Tabelle der Relationen, es gibt nur noch eine weitere Möglichkeit, die sogenannte Klein'sche Vierergruppe für 6 Elemente ähnlich, bei 8 Elementen wird das ganze langsam aufwendig, da gibt es schon mehr als 2 verschiedene Gruppen |
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