Punkte mit Masse

09.05.2006, 18:14	Jim Pansen	Auf diesen Beitrag antworten »
Punkte mit Masse Warum gibt es für eine reelle ZV X nur abzählbar viele Punkte mit Masse? Also: P(X=a)>0 nur für abzählbare reelle Zahlen a. Für diskret verteilte ZV (sind ja so definiert) und absolut stetig verteilte ZV (Lebegue Nullmenge) ist mir das klar. Aber wie ist das allgemein? Geht das mit einem einfachen Widerspruchsbeweis? thx, der pansen
09.05.2006, 18:32	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} A = \{ a\in\mathbb{R} \bigm\| P(X=a)>0 \} \end{eqnarray}$ . Dann kannst du $\begin{eqnarray} A=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A_n := \left\{ a\in\mathbb{R} \bigm\| P(X=a)\geq \frac{1}{n} \right\} \end{eqnarray}$ schreiben. Offensichtlich ist $\begin{eqnarray} A_n \end{eqnarray}$ endlich - genauer gesagt gilt nämlich $\begin{eqnarray} \|A_n\|\leq n \end{eqnarray}$ . Und eine abzählbare Vereinigung endlicher Mengen ist ...
16.05.2006, 13:35	Jim Pansen	Auf diesen Beitrag antworten »
Abzählbar? Danke, sehr einfacher Beweis, aber auf so was komm ich einfach nie... Ist das auch der Grund, warum die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion F messbar ist? Wegen der Äquivalenz: F (Verteilungsfunktion von Z) ist stetig in z genau dann, wenn P(Z=z)=0. Da es dann also nur abzälbar viele Unstetigkeitsstellen gibt, müsste die abzählbare Vereinigung der messbaren Einpunktmengen {z} ja wieder messbar sein. Wie läuft denn der Beweis für eine messbare Funktion? Dann ist die Menge der Unstetigkeitsstellen ja auch messbar.

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