Simple Random Walk

09.05.2006, 19:18

Paul_H

Simple Random Walk

Hallo zusammen.

ohne Umschweife die Aufgabe:
Eine faire Münze wird n-mal geworfen. Pro Wurf setzt der Spieler x Euro ein. Bei Kopf erhält er den Einsatz plus den gleichen Betrag zurück, ansonsten verliert er den Einsatz. Der Gewinn/Verlust im i-ten Wurf wird beschrieben durch die Zufallsgröße
$\begin{eqnarray*} X_i : \Omega \rightarrow \{-x , x\}. \end{eqnarray*}$
Der Gesamtgewinn/-verlust im i-ten Wurf wird beschrieben durch die Zufallsgröße

$\begin{eqnarray*} S_i := \sum^{i}_{j=1} X_i. (S_0 := 0) \end{eqnarray*}$

So, nun muss ich Erwartungswert (und Varianz) von $\begin{eqnarray*} S_i \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Mein Problem ist, dass ich mir erstmal absolut nicht vorstellen kann, was der Erwartungswert überhaupt aussagen soll. Vielleicht, wie sehr die Summe vom erwarteten Gewinn be n Würfen abweicht?
Dann würde ich folgendermaßen vorgehen:
Überprüfen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass nach dem i-ten Wurf x-mal gewonnen wurde.
$\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ berechnen
Erwartungswert der Summe von $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ berechnen.

Das wäre ein Ansatz. Aber: wie sieht denn $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ im Endeffekt aus? Die Wahrscheinlichkeit, dass er verliert und gewinnt sind ja gleich. Wie fange ich denn da an?

09.05.2006, 22:19

Auf diesen Beitrag antworten »

Es wird eine faire Münze geworfen. D.h., die Wahrscheinlichkeit für Gewinn sowie Verlust ist jeweils gleich 0.5. Zusammen mit den von dir genannten Auszahlungskonditionen ergibt sich unmittelbar

$\begin{eqnarray*} P(X_i=x) = P(X_i=-x) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Paul_H
Der Gesamtgewinn/-verlust im i-ten Wurf wird beschrieben durch die Zufallsgröße

$\begin{eqnarray*} S_i := \sum^{i}_{j=1} X_i. (S_0 := 0) \end{eqnarray*}$

Meinst du hier nicht eher den Gesamtgewinn bis einschließlich des i-ten Wurfes

$\begin{eqnarray*} S_i := \sum^{i}_{j=1} X_j \end{eqnarray*}$

?

Neue Frage »

Antworten »

Simple Random Walk

Verwandte Themen