DGL allgemein Lösen und Skizzieren?

09.05.2006, 22:12

Lefko

DGL allgemein Lösen und Skizzieren?

Hallo Leute Wink

,

ich hab eine Aufgabe, und komm irgendwie nicht damit zurecht. Evtl. könnt ihr mir sagen, ob ich den richtigen Gedankengang hatte und die Lösungen der Differentialgleichung richtig sind und wie ich die nun Skizzieren soll...

Also:

http://home.arcor.de/lefko/Aufgabe%206%20Mathe.jpg

Ich habe zuerst umgeformt, und wie angegeben die Parameter m etc. ersetzt (durch Alpha und so)
Dann habe ich aus diesem $\begin{eqnarray*} x'' + 2 \alpha \cdot x' + \omega^2 = 0 \end{eqnarray*}$ (x'' ist gleichbedeutend mit x mit zwei Punkten, also zweite Ableitung)
an Hand des Ansatzes
$\begin{eqnarray*} y = e^{\lambda \cdot x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y' = \lambda \cdot e^{\lambda \cdot x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'' = \lambda^{2} \cdot e^{\lambda \cdot x} \end{eqnarray*}$
etc.

mit der p-q-Formel die ganz allgemeine Lösung $\begin{eqnarray*} \lambda _{1/2} = -\alpha \pm \sqrt{D} \end{eqnarray*}$ .

Da D verschiedenen Fällen entsprechen kann, komme ich als Lösung der DGL auf:

D=0: $\begin{eqnarray*} y = C_1 \cdot x \cdot e^{-\alpha \cdot x} + C_2 \cdot e^{-\alpha \cdot x} \end{eqnarray*}$ da doppelte NST.

D>0: $\begin{eqnarray*} y = C_1 \cdot e^{(-\alpha + \sqrt{D}) \cdot x} + C_2 \cdot e^{(-\alpha - \sqrt{D}) \cdot x} \end{eqnarray*}$

D<0: $\begin{eqnarray*} y = e^{- \alpha \cdot x} \cdot [C_1 \cdot cos(\sqrt{D} \cdot x) + C_2 \cdot sin(\sqrt{D} \cdot x)] \end{eqnarray*}$ da konjugiert komplexe NST (über eulerschen Satz).

Ist das so richtig?

Wie soll ich das nun skizzieren, mit den ganzen Unbekannten Alpha, D, C1, C2, etc.?

10.05.2006, 10:07

Lefko

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann niemand etwas dazu sagen? unglücklich

10.05.2006, 11:48

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn $\begin{eqnarray*} \sqrt{D} \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} D<0 \end{eqnarray*}$ ?

Ob die Lösungen korrekt sind, kannst du durch Einsetzen leicht überprüfen.

Für die Skizzen reicht es, das charakteristische Verhalten der verschiedenen Lösungsklassen darzustellen, denke ich. Ggf. bietet sich dazu eine Auswahl geeigneter Parameter an (zB verschiedene Dämpfungsparameter $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ usw).

Grüße Abakus smile

10.05.2006, 18:27

Lefko

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sqrt{D} \end{eqnarray*}$ ist imaginär mit $\begin{eqnarray*} D<0 \end{eqnarray*}$ , also eigentlich sowas wie $\begin{eqnarray*} \sqrt{\mid D \mid} \cdot i \end{eqnarray*}$

damit ist $\begin{eqnarray*} \lambda_{1/2} = -\alpha \pm \sqrt{\mid D \mid} \cdot i \end{eqnarray*}$

Über den Eulerschen Satz $\begin{eqnarray*} e^{i \cdot x} = cos(x) + i \cdot sin(x) \end{eqnarray*}$

und etwas Umformen, Ausklammern und ein Additionstheorem zur Beseitigung von i kommt man auf
$\begin{eqnarray*} y = e^{- \alpha \cdot x} \cdot [C_1 \cdot cos(\sqrt{D} \cdot x) + C_2 \cdot sin(\sqrt{D} \cdot x)] \end{eqnarray*}$

Davon nehme ich an, dass es richtig ist, aber die Skizze machen mir eher Magenschmerzen... soll ich einfach für die Variablen Werte festlegen?

10.05.2006, 21:23

Trazom

Auf diesen Beitrag antworten »

Herr im Himmel, eine Differenzialgleichung? Wer sowas schreibt, gehört am nächsten Baum aufgeknüpft.

Die Unterscheidung für negatives D hast Du in Deinen Fällen übrigens schon drin.

Bedenke:

$\begin{eqnarray*} \sin (x) = \frac{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos (x) = \frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix}) \end{eqnarray*}$

10.05.2006, 21:43

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die 3 Fälle Schwingfall, aperiodischer Grenzfall und Kriechfall und ggf. noch Lösungen, die physikalisch nicht vorkommen können (zB cosh usw.). Die Bezeichnungen der Fälle sprechen für sich.

Wichtig ist halt, dass der jeweils charakteristische Verlauf in einer Skizze dargestellt wird.

Möglich wäre:

1. Skizze mit allen drei Fällen und demselben Anfangswert (und nur verschiedenen Dämpfungsparametern)

2. Skizze Kriechfall mit starker/schwacher Dämpfung mit/ohne Anstoß

3. Skizze aperiodischer Grenzfall mit/ohne Anstoß

4. Skizze Schwingfall mit verschiedenen Frequenzen und Dämpfungen

5. ggf. Skizze von nicht physikalisch vorkommenden Lösungen beim harmonischen Oszillator

Vielleicht kommst du ja auf noch mehr Fälle Augenzwinkern

.

Grüße Abakus smile

10.05.2006, 21:55

Trazom

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst Du auf das mit "mit/ohne Anstoß"?

Ein System mit D >= 1 kriecht und stößt nirgendwo an, das geht asymptoptisch gegen einen Grenzwert.

10.05.2006, 22:28

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Trazom
Wie kommst Du auf das mit "mit/ohne Anstoß"?

Ein System mit D >= 1 kriecht und stößt nirgendwo an, das geht asymptoptisch gegen einen Grenzwert.

Ich meine folgendes: der Oszillator könnte am Start in seiner Ausgangsposition eine vorgegebene Geschwindigkeit haben (>0). Dann saust er erst noch weiter von der Ruhelage weg, erreicht ein Maximum schließlich, und geht dann Richtung Ruhelage.

Mal ein Beispiel (beides Kriechfall):

Der rote Oszillator startet nicht in der Ruhelage (hat aber eine Geschwindigkeit von 0); der grüne tut es, besitzt dafür aber eine positive Startgeschwindigkeit (das meine ich mit Anstoß).

Grüße Abakus smile

10.05.2006, 22:33

Trazom

Auf diesen Beitrag antworten »

Das zu unterscheiden, ist nicht notwendig, die DGL deckt das alles ab.

Eine Impuls- oder Sprungantwort zu jedem Fall von D reicht, um das komplett zu erfassen.

10.05.2006, 23:51

Lefko

Auf diesen Beitrag antworten »

Klasse, inzwischen hab ich keine Ahnung mehr, wovon ihr redet

http://www.delphipraxis.net/images/smiles/gruebel.gif

11.05.2006, 00:20

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Lefko: was ist dir unklar? Die drei genannten Fälle Kriechfall, aperiodischer Grenzfall, Schwingfall entsprechen D>0, D=0, D<0.

Was eine Impuls-/Sprungantwort ist, weiß ich allerdings auch nicht verwirrt

.

Ansonsten siehst du ja, dass die Meinungen, wie genau die Skizzen ausdifferenziert sein sollen, auseinander gehen. Wie ausführlich deine Darstellung sein soll, kannst nur du selbst beantworten.

Grüße Abakus smile

Neue Frage »

Antworten »

DGL allgemein Lösen und Skizzieren?

Verwandte Themen