symmetrische und orthogonale Matrizen

09.05.2006, 22:17	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
symmetrische und orthogonale Matrizen Hi... ich hab folgende Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} M \in M_{n \times n}(\mathbb R) \end{eqnarray}$ symmetrisch. Zeigen Sie, dass es dann eine orthogonale Matrix $\begin{eqnarray} S \in M_{n \times n}(\mathbb R) \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} S^TMS \end{eqnarray}$ ist Diagonalmatrix ich weiß, dass für eine symmetrische Matrix gilt: $\begin{eqnarray} A = A^T \end{eqnarray}$ und für eine orthogonale Matrix gilt: $\begin{eqnarray} A^{-1} = A^T \end{eqnarray}$ aber ich finde keine Ansatz für die Überlegung... geht es über die Summen, dass ich mir ansehe, wie die Elemente von $\begin{eqnarray} S^TMS \end{eqnarray}$ aussehen und dann daraus Schlussfolgerungen ziehe, ob es eine Diagonalmatrix ergeben kann?
09.05.2006, 22:21	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
ich frage mal ganz frech.... folgt das nicht irgendwie aus dem Spektralsatz. Ich habe keine Ahnung, wie man das ganze beweisen kann, aber diese orthogonale Matrix entspricht einer Basiswechselmatrix... orthogonale Basis..... hmmmm. Nur mal ein erster Ansatzpunkt, sicher bin ich mir ob der Aussage des Spektralsatzes nie.
09.05.2006, 22:36	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Spektralssatz war doch sowas ähnliches wie Hauptachsentransformation, oder? - da geht es um euklidische, unitäre Vektorräume und einen selbstadjungierten Endomorphismus f und dann kann man den Vektorraum als direkte Summe der Eigenräume von f schreiben... bringt mich das weiter?
09.05.2006, 22:44	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
Ne, Spektralsatz war das nicht; ich habe gerade mein Skript nach der Aussage durchgeguckt, an die ich gedacht hatte, finde sie aber nicht. Also vergiss, was ich gesagt habe und warte auf wen mit Ahnung...
11.05.2006, 19:50	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
hab jetzt nochmal gelesen, dass mein zu beweisender Satz nur eine andere Formulierung für folgenden Satz ist: Sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum und f ein selbstadjungierter Endomorphismus. Dann besitzt V eine Orthonormalbasis bei der alle Vektoren Eigenvektoren bezüglich f sind. ( glaub der Satz war so - hab ihn jetzt nur aus der Erinnerung aufgeschrieben ) aber wie hängt das mit meinem zusammen? also wenn ich einen selbstadjungierten Endomorphismus habe ist die zugehörige Matrix ja schon mal symmetrisch, aber wie geht's weiter?

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