Log-Normalverteilung

07.08.2008, 16:38	Distribute	Auf diesen Beitrag antworten »
Log-Normalverteilung Hallo zusammen! Ich habe zwei kleine Fragen zu den Eigenschaften der Log-Normalverteilung. Zum Hintergrund: Sei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ log-normalverteilt, dann ist $\begin{eqnarray} \ln X \end{eqnarray}$ normalverteilt. Wie kann ich bei der Log-Normalverteilung das $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ -te Anfangsmoment zeigen? Im Moment weiß ich nur die Lösung aus einem Lehrbuch: $\begin{eqnarray} E(X^r)=\exp(r\mu+r^2\sigma^2/2) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma^2 \end{eqnarray}$ die Parameter seien und nicht die Momente selbst. (Dies sind die Parameter=Momente der normalverteilen Logarithmen von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ .) Da die momenterzeugende Funktion nicht existiert, hängt das irgendwie mit der der Normalverteilung zusammen? Und der zweite Teil meiner Frage, der auch in diese Richtung geht: Was muss ich zeigen, um das Produtmoment $\begin{eqnarray} XY \end{eqnarray}$ zu berechnen. Vorweg die Lösung: $\begin{eqnarray} E(XY) = \exp(\mu_X+\mu_Y+1/2(\sigma_X^2+2\sigma_{X,Y}+\sigma_Y^2)) \end{eqnarray}$ . Reicht es hier von der Normalverteilung zu kommen und zu sagen, dass: $\begin{eqnarray} E(XY)=\exp(E(\ln X+\ln Y)) \end{eqnarray}$ ? Weil dann steht nichts anderes in der obigen Klammer als $\begin{eqnarray} \mu_{\ln X+\ln Y}=\mu_X+\mu_Y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma_{\ln X+\ln Y}^2=\sigma_X^2+2\sigma_{X,Y}+\sigma_Y^2 \end{eqnarray}$ und dies eingesetzt in den Erwartungswert der Lognormalverteilung: $\begin{eqnarray} E(\ln X+\ln Y)=\mu_{\ln X+\ln Y}+1/2\sigma_{\ln X+\ln Y}^2 \end{eqnarray}$ . Dies scheint mir aber zu einfach zu sein, weil der Erwartungswert zwar linear ist, aber $\begin{eqnarray} \exp \end{eqnarray}$ nicht. Aber wie geht's dann, weil das ist zumindest die Lehrbuch-Lösung? Vielen Dank im Voraus!
07.08.2008, 16:47	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum ersten Teil: Aus $\begin{eqnarray} \ln(X) \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} r\ln(X) \sim \mathcal{N}(r\mu,r^2\sigma^2) \end{eqnarray}$ . Und es ist nun mal $\begin{eqnarray} X^r = e^{r\ln(X)} \end{eqnarray}$ , alles klar?
07.08.2008, 18:11	Distribute	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Arthur, vielen Dank für deine schnelle Antwort! Hmm, ja, das ist sehr übersichtlich und löst dann eigentlich auch den zweiten Teil meiner Frage. Denn es gilt ja auch umgekehrt, dass wenn $\begin{eqnarray} \ln(X) \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray}$ , dann $\begin{eqnarray} \exp(\ln(X)) = X \sim \mathcal{LN}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray}$ . Also doch so trivial, man muss gar nicht mit dem Erwartungswertoperator an dieser Stelle hantieren und sich Probleme wegen Nicht-Linearität einhandeln, sondern sowohl das höhere Anfangsmoment, als auch das Produktmoment selbst sind log-normalverteilt? Dann folgt alles ganz einfach daraus...

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