Mischungsverhältnis mit vier Sorten

08.08.2008, 08:20

Spezimathe

Mischungsverhältnis mit vier Sorten

Hallo!

Ich habe eine Aufgabe, an welcher ich mir schon stundenlang den Kopf zerbrochen habe LOL Hammer

:

Für die Pralinenmischung, die

5,60 € je kg

kosten soll, stehen vier Sorten zur Verfügung:

1. Sorte zu 5,20 € je kg
2. Sorte zu 5,90 € je kg
3. Sorte zu 6,30 € je kg
4. Sorte zu 6,80 € je kg

a) Berechne ein Mischungsverhältnis, und mache die Probe. Achte bitte auf eine übersichtliche Darstellung des Rechenweges. verwirrt

b) Von der 1. Sorte soll ein Restbestand von 18 Kg und von der 2. einer von 5 Kg verwendet werden. Welche - gleichen - Mengen der beiden anderen Sorten sind dann zuzumischen?

Mein Ansatz:

Erstmal den Unterschied zu dem benötigten Preis/kg aufschreiben:
1. + 0,40 €
2. - 0,30
3. - 0,70
4. - 1,20

... dann weiß ich nicht weiter...
Für Anregungen wäre ich sehr dankbar!!!

08.08.2008, 08:44

Dual Space

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RE: Mischungsverhältnis mit vier Sorten
Nein, dein Ansatz taugt nicht viel.

Bezeichne besser mit $\begin{eqnarray*} x_1, x_2, x_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_4 \end{eqnarray*}$ die Menge (in kg) der entsprechenden Pralinensorte.

Dann soll gelten

$\begin{eqnarray*} x_1\cdot 5,\! 2 + x_2\cdot 5,\! 9 + x_3\cdot 6,\! 3 + x_4\cdot 6,\! 8=5,\! 6 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} x_1+x_2+x_3+x_4=1. \end{eqnarray*}$

Nun heißt es eine Lösung zu finden.

08.08.2008, 11:47

Mathegreis

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Da die Menge der ersten Sorte bekannt ist, kann man für x1 = 18 setzen.
die Menge der zweiten Sorte ist ebenfalls bekannt: x2 = 5
Die dritte und vierte Menge ist gleich; folglich vereinfacht sich die Gleichung
wie folgt:

$\begin{eqnarray*} 18*5,2 + 5*5,9 +6,3*x + 6,8*x = (23+2*x)*5,6 \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung lässt sich einfach nach x auflösen, ohne vier Unbekannte.

Gruß

09.08.2008, 12:44

Dual Space

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@Mathegreis: Du beziehst dich offenbar schon auf Aufgabe b). Wir haben aber noch nicht mal a) beantwortet.

09.08.2008, 15:55

Mathegreis

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Ja, weil mir die Fragestellung unklar ist:

Berechne ein Mischungsverhältnis - aus wieviel Sorten?
Dazu kann ich Sorte 1 und 2 nehmen, 1 und 3 oder alle? Es ist in der Aufgabe nicht deutlich gesagt. Vielleicht weiß das ja der Fragesteller.

09.08.2008, 16:24

Leopold

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Halt irgendeines, z.B. in der Bezeichnung von Dual Space

$\begin{eqnarray*} x_1 = 0{,}62 \, ; \ \ x_2 = 0{,}17 \, ; \ \ x_3 = 0{,}11 \, ; \ \ x_4 = 0{,}10 \end{eqnarray*}$

09.08.2008, 18:13

Mathegreis

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Schon mal die Probe gemacht, ob das stimmt?

Und wie kommt man auf diese Werte????

09.08.2008, 18:16

Leopold

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Schon mal die Probe gemacht, ob das stimmt?

Ich schon. Augenzwinkern

Wie man darauf kommt? Dual Space hat ein Gleichungssystem in zwei Gleichungen und vier Unbekannten angegeben. Das löst man nach einem Standardverfahren, z.B. dem Gaußschen Algorithmus. Gültig sind hier nur positive Lösungen.

10.08.2008, 16:09

Mathegreis

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Zitat:

Original von Leopold
Halt irgendeines, z.B. in der Bezeichnung von Dual Space

$\begin{eqnarray*} x_1 = 0{,}62 \, ; \ \ x_2 = 0{,}17 \, ; \ \ x_3 = 0{,}11 \, ; \ \ x_4 = 0{,}10 \end{eqnarray*}$

Also mische ich mal die 1. Sorte mit der 2. Sorte:

3 kg zu je 5,20 € + 4 kg zu je 5,90 € ergibt 7 kg zu je 5,60 € Mischungsverhältnis 3 : 4

Oder: 1. Sorte mit 3. Sorte:

7 kg zu je 5,20 € + 4 kg zu je 6,30 € ergibt 11 kg zu je 5,60 €
Mischungsverhältnis 7 : 4

Oder: 1. Sorte mit 4. Sorte
3 kg zu je 5,20 € + 1 kg zu 6,80 € ergibt 4 kg zu je 5,6 €
Michungsverhältnis 3 : 1

Die übrigen Mischungen (2. Sorte mit der 3. oder 4., sowie 3. Sorte mit der 4.) ergeben keinen Sinn, weil ihr Eingangspreis bereits über dem Mischungspreis liegt.

11.08.2008, 10:25

TheWitch

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RE: Mischungsverhältnis mit vier Sorten

Zitat:

Original von Dual Space
Nein, dein Ansatz taugt nicht viel.

Doch, der Ansatz taugt schon. Er führt auf $\begin{eqnarray*} 0,4x_1 - 0,3x_2 - 0,7 x_3 - 1,2x_4 = 0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} 4x_1 - 3x_2 - 7 x_3 - 12x_4 = 0 \end{eqnarray*}$ (1).

(Formal ergibt er sich aus $\begin{eqnarray*} x_1\cdot 5,\! 2 + x_2\cdot 5,\! 9 + x_3\cdot 6,\! 3 + x_4\cdot 6,\! 8=(x_1+x_2+x_3+x_4)\cdot5,\! 6 \end{eqnarray*}$ )

Mischungsverhältnisse werden in der Schule im Allgemeinen ganzzahlig angegeben - und diese Vorgehensweise hat gegenüber der deinen (natürlich richtigen) den Vorteil, dass ganzzahlige Lösungen von vornherein in Betracht kommen. Ich nehme mal an, dass das auch in der Schule so besprochen wurde. (Die von Leopold angegebene Lösung ergäbe ein Mischungsverhältnis von $\begin{eqnarray*} 62 : 17 : 11 : 10 \end{eqnarray*}$ .)

Zitat:

Original von Mathegreis
(...)
Die übrigen Mischungen (2. Sorte mit der 3. oder 4., sowie 3. Sorte mit der 4.) ergeben keinen Sinn, weil ihr Eingangspreis bereits über dem Mischungspreis liegt.

Das gilt nur unter der Voraussetzung, dass nur zwei Sorten verwendet werden - das ist aber nicht zwangsläufig so. Das einzige, was unabdinglich ist, ist die Tatsache, dass Sorte 1 verwendet werden muss, da sie die einzige ist, die den Preis nach unten beeinflussen kann.

Löst man die obige Gleichung (1) auf zu $\begin{eqnarray*} 4x_1 = 3x_2 + 7 x_3 + 12x_4 \end{eqnarray*}$ , so ergibt sich zum Beispiel mit $\begin{eqnarray*} x_2 = x_3 = x_4 = 2 \end{eqnarray*}$ ein Mischungesverhältnis von $\begin{eqnarray*} 11 : 2 : 2 : 2 \end{eqnarray*}$ . Oder mit $\begin{eqnarray*} x_2 = 4, x_3 = 0, x_4 = 1 \end{eqnarray*}$ eins von $\begin{eqnarray*} 6 : 4 : 0 : 1 \end{eqnarray*}$ .

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