Ebenenform in eine andere umwandeln.

10.05.2006, 20:50	Simeon	Auf diesen Beitrag antworten »
Ebenenform in eine andere umwandeln. Hi Leute, angenommen a sei ein konstanter Vektor und x sei der variable Vektor. * ist das Skalarprodukt. Dann beschreibt ax=14 eine Ebene. Wie wandle ich das aber in die Form: x=b+sc+t*b um? b,c und d sind Vektoren, und s und t die variablen.
10.05.2006, 21:13	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Eine Möglichkeit ist, zwei Komponenten des allgemeinen Vektors x beliebig (in s, t) zu wählen und danach die dritte zu bestimmen. 1.: $\begin{eqnarray} \vec{a} \cdot \vec{x} = 14 \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} \vec{x} = (x_1; x_2; x_3) \end{eqnarray}$ Beispielsweise: $\begin{eqnarray} x_1 = s \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2 = t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \rightarrow x_3 \end{eqnarray}$ aus 1. Damit ist die Parameterform der Ebene erstellt. Die ersten zwei Koordinaten des Anfangspunktes sind 0. mY+
10.05.2006, 21:45	Simeon	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie funktioniert das bei mir nicht, wenn ich x1 und x2 substituiere, dann hab ich doch garkeinen variablen Vektor mehr den ich durch beliebige s und t bestimme...obwohl....naja....aber nicht in der Parameterform... EDIT: Ja, dann hab ich aber in der letzten Koordinate des STützvektors keinen Wert sondern ne Formel aus s und t, geht das denn, also ist das erlaubt ind er Parameterform?
10.05.2006, 22:03	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der variable Vektor ist - auch in der Parameterform - nach wie vor $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ , nur sind die Lauf-Variablen nunmehr die beiden Parameter s, t. Aus $\begin{eqnarray} \vec{a} \cdot \vec{x} = 14 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 14 \end{eqnarray}$ folgt mit $\begin{eqnarray} a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_1 = s, x_2 = t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_1 \cdot s + a_2 \cdot t + a_3 \cdot x_3 = 14 \end{eqnarray}$ Daraus berechnen wir $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ . Die Parameterform hat dann die Gestalt $\begin{eqnarray} \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ .. \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ .. \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ .. \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Was will man mehr? Hinweis: Die letzte Koordinate des Stützvektors ist $\begin{eqnarray} \frac{14}{a_3} \end{eqnarray}$ , dort stehen weiters keine Terme in s, t. Die Parameter s und t teilen sich vielmehr jeweils den beiden Richtungsvektoren mit. mY+

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