Leibniz'sche Formel

18.05.2004, 22:40	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Leibniz'sche Formel Hi, ich hab jetzt in einem Buch folgendes gefunden: $\begin{align} \frac{\pi}{4}\ =\ \frac{1}{1}\ -\ \frac{1}{3}\ +\ \frac{1}{5}\ -\ \frac{1}{7}\ +\ \frac{1}{9}\ \ ... \end{align}$ (Leibniz'sche Formel) Das ist ja höchstinteressant, dass $\begin{align} \pi \end{align}$ so darstellbar ist. Wie kommt man denn darauf??
18.05.2004, 22:48	Philipp-ER	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Wert der Reihe ist nicht Pi, sondern Pi/4. Darauf kommt man, wenn man weiß, dass gilt: $\begin{align} arctan(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1} \end{align}$ Das ist die sogenannte Reihendarstellung der arctan-Funktion (viele Funktionen besitzen solche Reihendarstellungen). Wie du siehst ergibt sich für arctan(1), wenn man in die allgemeine Reihe für x die 1 einsetzt, deine Reihe und da bekanntermaßen arctan(1)=Pi/4 hat auch die Reihe diesen Wert.
18.05.2004, 22:52	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt! Danke, pi habe ich einfach drauf los geschrieben. Hätte mir ja eigentlich auffallen müssen. :P

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