Komplizierte DGL - Ich hab keine Ahnung...

11.05.2006, 14:47

Drum

Komplizierte DGL - Ich hab keine Ahnung...

Hi,

ich habe folgende komplexe DGL und ich hab keine Ahnung, wie ich die Lösen kann.

$\begin{eqnarray*} k \cdot \frac{1}{f^{2}(t)} - \frac{d^{2}}{dt^{2}}f(t) = 0 \end{eqnarray*}$

Das ganze will ich nach f(t) lösen, sodass ich am Schluss f(t) = ... stehen habe. Das ganze ist recht dringend, ich hab aber keine Ahnung davon, weil auf der linken Seite f(t) im Quadrat im Nenner steht und auf der rechten Seiten die zweite Ableitung davon...wär super wenn ihr mir helfen könntet, ohne Hilfe schaff ichs nicht unglücklich

Vielen Dank,

MfG Drum

P.s.: f(0) und f'(0) könnte sollten später frei wählbar sein, d.h. einen Anfangswert besitzen. Keine Ahnung ob euch das weiterhilft oder das Leben schwerer macht smile

Hoffe das ist nicht zu viel verlangt, wär verdammt nett von euch.

11.05.2006, 14:49

Drum

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Ach und noch was, k ist eine Konstante mit einem Wert aus der Menge der rationalen Zahlen.

11.05.2006, 17:16

Abakus

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RE: Komplizierte DGL - Ich hab keine Ahnung...

Zitat:

Original von Drum
... ich habe folgende komplexe DGL ...

Meinst du wirklich eine DGL über $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ?

Du hast jedenfalls $\begin{eqnarray*} y'' = \frac{k}{y^2} \end{eqnarray*}$

Multipliziere mal mit 2y':

$\begin{eqnarray*} 2\cdot y' \cdot y'' = \frac{d((y')^2)}{dx} = \frac{2k \cdot y'}{y^2} = -2k \cdot \frac{d(\frac{1}{y})}{dx} \end{eqnarray*}$ ,

also $\begin{eqnarray*} (y')^2 = \frac{-2k}{y} \end{eqnarray*}$

Letzteres sind getrennte Veränderliche und das ist lösbar.

Grüße Abakus smile

11.05.2006, 18:25

Drum

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Hmm.......Danke, aber ich kapiers nicht smile

Also ich kapier zunächst deine Rechenschritte nicht (also die Umformungen) und weiß auch nicht so recht, was ich mit dem Ergebnis anfangen kann...ich hätt ja dann immernoch eine DGL, weil auf der linken Seite eine die Ableitung von der Funktion auf der rechten Seite steht, oder?

Wär super, wenn du mir das noch kurz erklären könntest!

MfG, Drum

11.05.2006, 18:41

Abakus

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Welche Rechenschritte sind genau unklar? Ich habe mit 2y' multipliziert und die Kettenregel angewendet.

Bei der letzten DGL ziehst du die Wurzel, multiplizierst mit y^(1/2) und integrierst beide Seiten getrennt, die rechte nach x, die linke nach y (das bedeutet getrennte Veränderliche).

Grüße Abakus smile

13.05.2006, 21:04

Drum

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Hm naja kapier ich immernoch net smile

Aber liegt an meinen spärlichen 12-Klässler Kenntnissen....

Mir wurde der Tipp gegeben, das ganze numerisch zu lösen...und dabei ist mir aufgefallen, dass die Gleichung wie sie ist gar keine Lösung hat, oder täusche ich mich da? Denn die 2. Ableitung von einer Zahl ist immer 0 und k/f² kann nie 0 werden...

13.05.2006, 21:45

Abakus

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Zitat:

Original von Drum
Hm naja kapier ich immernoch net smile

Also für eine 12-te Klasse ist die DGL nicht einfach. Abgeleitet wird hier eine Funktion f, und keine Zahl.

Ich schreibe statt f einfach y (also y ist eine Funktion von x dann). Zu lösen ist:

$\begin{eqnarray*} y'' = \frac{k}{y^2} \end{eqnarray*}$

Multiplikation mit 2y' ergibt:

$\begin{eqnarray*} 2y' \cdot y'' = \frac{2k \cdot y'}{y^2} \end{eqnarray*}$

Auf der linken Seite steht jetzt: $\begin{eqnarray*} \frac{d((y')^2)}{dx} \end{eqnarray*}$ . Das ist die Ableitung einer quadrierten Funktion nach der Kettenregel.

Auf der rechten Seite steht nun: $\begin{eqnarray*} -2k \cdot \frac{d(\frac{1}{y})}{dx} \end{eqnarray*}$ . Hier brauchst du die Ableitung eines Quotienten und die Kettenregel.

Demzufolge also $\begin{eqnarray*} \frac{d((y')^2)}{dx} = -2k \cdot \frac{d(\frac{1}{y})}{dx} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt beide Seiten nach x integriert:

also $\begin{eqnarray*} (y')^2 = \frac{-2k}{y} \end{eqnarray*}$

Einmal die Wurzel gezogen:

$\begin{eqnarray*} y' = \sqrt{\frac{-2k}{y}} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y' = -\sqrt{\frac{-2k}{y}} \end{eqnarray*}$

Ich betrachte den ersten Fall (der zweite ist analog). Diese DGL sind solche mit getrennten Veränderlichen nun.

Statt y' wird "formal" dy/dx geschrieben und mit dx multipliziert, ebenso wird die Wurzel aufgetrennt; dann hast du:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{y} \cdot dy = \sqrt{-2k}~dx \end{eqnarray*}$

Integration links nach y und rechts nach x ergibt:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} = \sqrt{-2k} \cdot x \end{eqnarray*}$

Nun noch den Vorfaktor rübermultiplizieren, quadrieren und die dritte Wurzel ziehen:

$\begin{eqnarray*} y = (\frac{3}{2} \cdot \sqrt{-2k} \cdot x)^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$

Das ist demnach eine Lösung. Wenn du das "-" von oben noch berücksichtigst und bedenkst, dass beim Integrieren jeweils Konstante dazu kommen, kannst du die allgemeine Form der Lösung hinschreiben (ich habe das bei dieser Herleitung vernachlässigt).

Ansonsten kannst du dich durch Einsetzen und Ableiten von der Korrektheit der Lösung überzeugen.

Grüße Abakus smile

15.05.2006, 17:24

Drum

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Okay, vielen Dank, das muss ich mir in Ruhe noch mal anschaun smile

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