Cholesky und seine Macken |
| 18.05.2004, 23:34 | MGM | Auf diesen Beitrag antworten » |
Cholesky und seine Macken
Ne Frage: Wie beweis ich die Eindeutigkeit der Cholesky-Zerlegung einer SPD- (symmetrischen positiv definiten) Matrix A in eine obere Dreiecksmatrix R (bzw. untere R^T) mit positiven Diagonaleinträgen so, dass A = R^T * R) ? [Induktionsanfang hab ich (juhu, das kann jeder, vgl. R=sqrt(A), wobei A eben ne Zahl), im Ind.schritt hab ich schon die Existenz.] Vielen Dank für´s Kopfzerbrechen im Voraus - MGM. |
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| 18.05.2004, 23:46 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich hab ja keine Ahnung von Numerik, aber ich kann googlen: http://www.markuswestphal.de/numerik/numerik_06.01.pdf Vielleicht hilft es? R^T*R=S^T*S Schreibs dir komponentenweise hin und beachte, dass R und S obere Dreieicksmatrizen sind. Betrachte zuerst die Komponente (1,1). Fuer die erhälst du die Gleichung . Weil die Diagonaleinträge von R und S positiv waren ist also r_11 = s_11. Damit kannst du weiter zeigen, dass R und S die gleiche erste Zeile haben. usw. Wie man daraus einen sauberen Induktionsbeweis macht, ist die Frage. |
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