Grenzwert von Folgen - Erklärung

10.08.2008, 12:05	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert von Folgen - Erklärung Hallo! Ich verstehe die Berechnung des vorgerechneten Grenzwertes nicht. Das Beispiel: Berechne für die Folge $\begin{eqnarray} ( 1 - \frac{1}{n}) \end{eqnarray}$ (n ist Element der Menge der natürlichen Zahlen ohne NUll), ab welchem Index der Abstand des Gliedes an von 1 kleiner als 1/10. Lösung: $\begin{eqnarray} \mid an - 1 \mid < \frac{1}{10} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1 - \frac{1}{10} < an < 1 + \frac{1}{10} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1 - \frac{1}{10} < 1 - \frac{1}{n} < 1 + \frac{1}{10} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -\frac{1}{10} < - \frac{1}{n} < \frac{1}{10} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{10} > \frac{1}{n} > -\frac{1}{10} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n > 10 \end{eqnarray}$ Ab dem 11. Glied ist der Abstand jedes Gliedes an von 1 kleiner als 1/10. Nur ich verstehe den Rechenvorgang nicht. Die erste Zeile ist noch klar: Der Betrag von an - 1 ist kleiner als 1/10 ist. Jedoch die zweite Zeile verwirrt mich bereits. Weiß jemand eine Erklärung dafür? mfg
10.08.2008, 12:19	Zizou66	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur zweiten Zeile: Dir fällt doch bestimmt auf, dass dort zuerst $\begin{eqnarray} \mid a_n-1 \mid \end{eqnarray}$ steht und nachher nur noch $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ . Jetzt solltest du dir diese Ungleichung erklären können. Wenn nicht achte doch mal auf die Reihenfolge der größer-kleiner- Zeichen. Von da an wird soweit umgeformt bis das Ergebnis da steht.
11.08.2008, 10:45	m@he	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, hier wurden einfach zwei kleine und elemantare Schritte zusammengefaßt: \|a_n -1\| < 1/10 ; Auflösen der Betragsklammer durch eine Folge von Ungleichungen -1/10 < a_n - 1 < 1/10 ; Addition von 1 bei jedem Term 1 - 1/10 < a_n < 1 + 1/10

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