Grenzwert von funktionen erklärung

10.08.2008, 12:42

petit

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Grenzwert von funktionen erklärung

Hallo,

ich weiß so ne frage soll man hier nich stellen, aber ich bin hier grade am verzweifeln mit den grenzwert....

ich habe folgende definition in meine m buch:

Wird x beliebig groß und kommen dabei die Funktionswerte f(x) der funktion f einer zahl a beliebin nahe, so nennt man diese zahl den grenzwert der funktion f für x $\begin{eqnarray*} \Rightarrow + \infty \end{eqnarray*}$
man schreibt: für
x $\begin{eqnarray*} \Rightarrow + \infty \end{eqnarray*}$ gilt f(x) - a ; kurz $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +/infty } f(x)=a \end{eqnarray*}$

ddie gerade mit der gleichung y=a heißt waagrechte assymptote des schaubildes von f für
x $\begin{eqnarray*} \Rightarrow + \infty \end{eqnarray*}$

entsprechend auch für - $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$

kann mir jenand diedefinition erklären ich verstehe echt null....habe auch schon gegoogelt, aber nichts gefunden was es mir verständlich erklärt...
und ohne die definition scheint es mir unmöglich aufgaben dazu zu rechnen....

10.08.2008, 12:45

tigerbine

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RE: Grenzwert von funktionen erklärung
Erstens brauchst du den latex code $\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

code:
1:	[latex]\to[/latex]

Zweitens verstehe ich nicht, was nun konkret dein Problem bei der Grenzwertdefinition ist.

10.08.2008, 13:03

Zizou66

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Verstehst du auch diese Beschreibung nicht? Wiki: Grenzwert (Funktion)

Und anschaulich:

Hier ist der Grenzwert der Funktion 1. Von dem Bild ausgehend könnte man auf die Idee kommen, dass das so ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.08.2008, 17:19

petit

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okay also mom verstehe ichh dass richtig:

der grenzwert ist ein wert den die funktion nicht annehmen kann, wei sie dafür nicht definiert ist? also sie kommen wenn der grenzwert zb 3 ist bis 2,99999 usw aber erreichen nie 3?

aber wie gehe ich vor wenn ich zb f(x)= 5/ (3x-1) habe? wäre der grenzwert 1/3 , da dann der nenner 0 wäre?

10.08.2008, 17:28

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von petit
der grenzwert ist ein wert den die funktion nicht annehmen kann

Bis dahin ist es richtig.

Zitat:

Original von petit
weil sie dafür nicht definiert ist?

Doch, sie ist auch dort definiert, warum sollte sie es nicht?

Zitat:

Original von petit
also sie kommen wenn der grenzwert zb 3 ist bis 2,99999 usw aber erreichen nie 3?

Die Funktionswerte können anstatt 2,999999... auch 3,000000000...0001 annehmen (je nachdem von welcher Seite sie sich annähert), aber den Wert 3 wird die Funktion (falls der Grenzwert 3 ist) nie erreichen.

Zitat:

Original von petit
aber wie gehe ich vor wenn ich zb f(x)= 5/ (3x-1) habe? wäre der grenzwert 1/3 , da dann der nenner 0 wäre?

Der Grenzwert ist NICHT gleichzeitig die Definitionslücke!

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to \infty} ~ \frac{5}{3x-1} \end{eqnarray*}$

Wie du siehst, ist der Grenzwert NICHT 1/3 sondern 0. Wie du darauf kommst? Erweitere mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ und dann lass x gegen unendlich gehen oder mach sofort den 2. genannten Schritt.

10.08.2008, 17:53

petit

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was heißt x geht gegen unendlich?? ich verstehe wirklich nur bahnhof...sorry...
wie funtioniert das mit dem limes denn genau?
und was ist jetzt der grenzwert? und der unterschied davon zur definitionslücke?

brauche wirklich eine erklärung für idioten, stehe grade echt auf dem schlauch....

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10.08.2008, 17:58

Jacques

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Hallo,

Ist Dir klar, wie der Grenzwert einer Folge definiert ist? Und weißt Du, wie man allgemein den Grenzwert einer Funktion definiert? Denn das sind die Grundlagen.

z. B. das:

Zitat:

der grenzwert ist ein wert den die funktion nicht annehmen kann

ist defintiv falsch! Es ist sogar erlaubt, dass die Funktion ihren Grenzwert niemals verlässt.

10.08.2008, 17:58

tigerbine

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Sorry, aber du stellst dich schon ein wenig an, oder? Ein entscheidender Unterschied ist schon einmal die Tatsache wo sich Definitionslücken befinden, und wo Grenzwerte "liegen".

Nehmen wir eine Funktion wie oben gezeigt, dargestellt in einem xy-Koordinatensystem. Definitionslücken sind x-Werte, die man nicht in die Funktion einsetzten darf. Grenzwerte sind y-Werte, die von der Funktion nicht angenommen werden, aber beliebig nahe angenähert werden können.

Das ist nun aber wirklich sehr erklärend von mir gesprochen, und nicht mathematisch genau. Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.08.2008, 18:09

petit

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@Jaques, nein wir hatten keine folgen bzw sie kommen in meinem mathebuch aus dem ich nachlerne nicht vor....

@ tigerbine....tut mir leid wenn ich kein mathegenie bin....hatte bis jetzt keine probleme nur dieses kapitel verstehe ich einfach nicht ich weißnicht warum und sitze schon den ganzen tag vor meinem buch und versuche es zu verstehen leider tu ichs nicht, und ich dachte, das forum wäre dazu da auch mal dumme frangen zu stellen....(ich muss 11 selbst nachlernen dh habe ich keine grundlage dass mir das jemand schonmal erklär hat vllt hören sich meine fragen deshalb so dumm an?? )

deine erklärun ist grenzwerte werden von einer funktion nicht angenommen,

warum werden sie nicht angenommen? bei definitionslücken verstehe ich es aber bei grenzwerten?

10.08.2008, 18:19

Jacques

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@ petit:

Ich würde Dir raten, erst den Grenzwert von Folgen nachzuholen, dann den Grenzwert von Funktionen für $\begin{eqnarray*} x \to r,\ r \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und dann den für $\begin{eqnarray*} x \to \pm \infty \end{eqnarray*}$

Du kannst natürlich auch versuchen, Dich "vom Ende her" vorzuarbeiten und bei den schwierigsten Formen anzufangen, aber meiner Meinung nach ist das Quatsch. Beginne lieber systematisch bei den Grundlagen, dann ersparst Du Dir viel Zeit und Anstrengung.

Es sei denn, Du brauchst nicht die strengen Definitionen, sondern nur genügend Wissen, um den Grenzwert berechnen zu können.

10.08.2008, 18:28

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von petit
was heißt x geht gegen unendlich??

Das heißt, dass das x, welches man einsetzt, immer größer wird und schließlich über alle Maße groß (= "unendlich" groß).

Zum Rechenweg am Beispiel von $\begin{eqnarray*} \frac{5}{3x-1} \end{eqnarray*}$ :

Du sollst berechnen: $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to \infty} ~ \frac{5}{3x-1} \end{eqnarray*}$

Nun geht x gegen unendlich, d. h. x wird immer größer:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to \infty} ~ \frac{5}{3 \cdot (\text{sehr große Zahl bzw.} \infty)-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3\cdot \infty -1 = \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longrightarrow \frac{5}{\infty} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt der Grenzwert mit $\begin{eqnarray*} g = 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von petit
und der unterschied davon zur definitionslücke?

Das hat Tigerbine doch schon geschrieben:

Zitat:

Original von Tigerbine
Nehmen wir eine Funktion wie oben gezeigt, dargestellt in einem xy-Koordinatensystem. Definitionslücken sind x-Werte, die man nicht in die Funktion einsetzten darf. Grenzwerte sind y-Werte, die von der Funktion nicht angenommen werden, aber beliebig nahe angenähert werden können.

10.08.2008, 18:29

tigerbine

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Zitat:

Original von petit
brauche wirklich eine erklärung für idioten, stehe grade echt auf dem schlauch....

Also fühl dich bitte nicht auf den Schlips getreten, wenn man darauf einmal eingeht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich habe dir nur versucht zu zeigen, dass deine Vermutung "Grenzwert = Definitionslücke" Unsinn ist.

Ferner drehe mir nicht die Worte im Mund herum. Nicht jeder Wert, der nicht angenommen wird ist ein Grenzwert.

Zitat:

was heißt x geht gegen unendlich?

das bedeutet, dass x-beliebig groß wird. Wir fragen uns dann, was passiert mit y bzw mit f(x).

Zitat:

wie funtioniert das mit dem limes denn genau?

Was soll diese Frage bedeuten, das ist zunächst mal eine Notation, mit der wir die Grenzwertbetrachtung darstellen wollen. Frage ist dann eben ob ein Grenzwert existiert oder nicht.

10.08.2008, 20:06

petit

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okay irgendwie steh ich grad noch immer auf dem schauch aber langsam klickts...

@jaques
ich brauche keine exakten definitionen, da ich nur den stoff der 11ten nachhole für 12 da ich in 11 nicht da war dh ich muss nur den grenzwert berechnen können und wissen was er ist also einfach soweit, dass wenns in 12 darum geht dass ich dann nicht anfangen muss das komplette thema plus 12er stoff nachzuholen also egal was ich muss nur wissen wies geht...

@tigerbine..ich will dir die worte nicht im mund rumdrehen aber ich habe grade echt verständnisprbleme haha...komm mir ja schon etwas idiotisch vor dass allle versuchen es zu erklären aber ich irgendwie in endeffekt nur bahnhof verstehe ...

also ich versuche einfach mal ein paar aufgaben mal sehen ob ichs jetzt begriffen habe...

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to oo} 1/( x^{2} + 1 ) \end{eqnarray*}$

wäre dann im nenner x²+1 dh $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ²+1

gibt dann 1/ $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ²+1

also g=0

aber wie kommt es dann zb zu g=4 ?

10.08.2008, 20:15

Q-fLaDeN

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Z. B. mit konstanten:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to \infty}4 + \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Aber das ist ja zweitrangig, wichtig ist, dass du das System dahinter verstehst. Deine Beispielaufgabe ist übrigens richtig.

Probier mal die:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to \infty}\frac{5+2x}{3x} \end{eqnarray*}$

10.08.2008, 20:37

petit

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also bin mir nicht sicher, aber g= $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

habe einfach geschrieben :

$\begin{eqnarray*} \frac {5}{3x} + \frac {2x}{3x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {5}{3x}= \frac {5}{3 \infty} = \infty \end{eqnarray*}$ das ganze dann :

$\begin{eqnarray*} \infty + \frac {2}{3} \end{eqnarray*}$

oder?

10.08.2008, 20:58

tigerbine

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Bitte verwende latex korrekt, die Zeit musst du investieren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

, gerade \frac{}{} mal verwenden.

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to \infty}\frac{5+2x}{3x} \end{eqnarray*}$

Nun gilt hier immer der gleiche Trick, forme den Bruch um, indem du ausklammerst und kürzst.

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to \infty}\frac{5+2x}{3x} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{x(\frac{5}{x} + 2)}{x(3)} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{\overbrace{\frac{5}{x}}^{\to 0} + 2}{3}= \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

10.08.2008, 21:35

petit

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bin gerade noch am latex üben ...werde das nächste mal versuchen,

also stimmt meine umformung oder muss ich es über ausklammern machen?

also ist g eines bruches der als nenner x hat immer 0 oder? also zb

$\begin{eqnarray*} \frac {2}{x} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac {10}{x} \end{eqnarray*}$

10.08.2008, 21:42

tigerbine

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Bleib bei der Ausklammer Variante., denn i.A. wirst du den Bruch, wenn der Nenner länger ist, nicht mehr aufteilen können.

Nein, es kommt schon darauf an, wo gegen man das x laufen lässt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~\frac{1}{x} = ? \end{eqnarray*}$

Der Grenzwert existiert hier nicht, da die Funktionswerte unbeschränkt groß/klein werden, je nachdem von welcher Seite du dich 0 näherst.

10.08.2008, 21:46

Q-fLaDeN

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Deine eigene Umformung stimmt schon, aber du hast dann falsch weitergerechnet.

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to \infty} \frac{5+2x}{3x} = \lim\limits_{x \to \infty} \left(\frac {5}{3x} + \frac {2x}{3x}\right) = \lim\limits_{x \to \infty} \left(\frac {5}{3x} + \frac {2}{3}\right) \end{eqnarray*}$

Der vordere Teil, also $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to \infty} \frac{5}{3x} \end{eqnarray*}$ , geht aber nicht gegen undendlich sondern gegen 0. Somit würde da stehen

$\begin{eqnarray*} ... = \lim\limits_{x \to \infty} \left(\frac {5}{3x} + \frac {2}{3}\right) = 0 + \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Und wie kommst du darauf, dass $\begin{eqnarray*} \infty + \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ ?

11.08.2008, 11:33

petit

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hilfe....

okay, ausklammern merk ich mir hehe und fragt mich nicht wie ich auf irgendwas komm ich weiß es nicht...

was heißt denn x geht gegen null, also setz ich für x dann null ein?
und x geht gegen minus unendlich? setzt ich dann einfach den wert ein gegen den x geht??

tut mir leid ich stell mich glaub doof an aber ich weiß echt nich was ich machen soll außer hier dumm zu fragen...

11.08.2008, 11:53

Q-fLaDeN

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Wenn es möglich ist, die Zahl einzusetzen, dann ja. Nur manchmal kann man die z. B. 0 eben nicht einsetzen (wie beim Beispiel von Tigerbine 1/x) und man muss sich von beiden Seiten her annähern. D. h. $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to +0} ~ \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to -0} ~ \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Es gibt übrigens nicht nur Grenzwerte gegen die Zahl 0 sondern allgemein gegen $\begin{eqnarray*} x_0 \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to x_0} ~ f(x) = g \end{eqnarray*}$

Z. B.

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to 2}\frac{x^2-4}{x-2} \end{eqnarray*}$

PS: Wie macht man das mathematische und bzw. oder in Latex?

11.08.2008, 12:20

tigerbine

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http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:TeX

11.08.2008, 12:26

tigerbine

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Zitat:

was heißt denn x geht gegen null

Das heißt, dass man sich der 0 beliebig nahe annähert, dass also der Abstand $\begin{eqnarray*} |0-x| >0 \end{eqnarray*}$ beliebig klein wird. Das ist aber etwas anderes als 0 einsetztem, denn das wäre x=0. und das ist nicht das gleiche, unabhängig ob man x=0 in der Funktion einsetzen darf oder nicht.

Q-Fladen, denk mal an eine mögliche Definition der Stetigkeit einer Funktion, nimm eine mit Sprung bei x=0. Dann sollte dir klar sein, was ich sagen will. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zürück zum "geht gegen", d.h. heißt, zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |0-x_n|< \varepsilon \end{eqnarray*}$

11.08.2008, 18:39

petit

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okay ich gebs auf... ich such mir jemanden der mir das so erklären kann ich bin immernoch bei bahnhof und abfahrt..... unglücklich

unglücklich

ich hab kein plan wieso aber irgendwie kapier ich immernoch null... Tränen

Tränen

aber danke trotzdem für eure hilfe =) echt lieb von euch.... =)

ps sorry fürs nerven strapazieren haha

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