approximation periodischer fkt. |
| 19.05.2004, 04:10 | Wetterfee | Auf diesen Beitrag antworten » |
approximation periodischer fkt.
zu beweisen ist, dass jede stetige periodische funktion, gleichmässig durch trigonometrische polynome approximiert werden kann .. . mir ist klar dass es gilt, aber ich weiss nicht wie mann das mathematisch korrekt als beweis aufschreiben kann .. hat jemand 'ne idee ? 
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| 19.05.2004, 07:07 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn dir der Satz von Stone-Weierstraß bekannt ist, dann dürfte es so gehen, wie ich es unten aufgeschrieben habe. Satz von Stone-Weierstraß Über dem kompakten Raum X sei eine Menge M von stetigen reellen Funktionen gegeben, die die Punkte des Raumes X trennen. Dann läßt sich jede stetige reelle Funktion f auf X durch Polynome in Funktionen von M beliebig genau gleichmäßig approximieren. Die auf der Menge der reellen Zahlen definierte stetige reellwertige Funktion f habe die Periode p>0. Wir nehmen X = [0,p] mit der induzierten euklidischen Topologie und definieren für reelles x c(x) = cos([2pi/p]·x), s(x) = sin([2pi/p]·x) . c,s haben offensichtlich die Periode p. Ihre Restriktionen auf X fassen wir zur Menge M={c,s} zusammen. Ebenso wird f auf X restringiert. Jetzt muß man nur noch überprüfen, daß c,s die (verschiedenen) Punkte x,x’ aus X trennen. Falls nun zufällig s(x)=s(x’) gilt, folgt aus der Symmetrie des Sinusgraphen x+x’=p/2 oder x+x’=3p/2. Dann ist im ersten Fall c(x’) = cos([2pi/p]·[p/2-x]) = cos(pi-[2pi/p]·x) = -cos([2pi/p]·x) = -c(x). (Und ebenso schließt man für x+x’=3p/2.) Also sind c(x),c(x’) verschieden (sie können nämlich nicht beide 0 sein, weil sonst s(x)=s(x’) nicht möglich wäre). Die Voraussetzungen von Stone-Weierstraß sind überprüft. Also läßt sich f auf X gleichmäßig durch Polynome in c,s approximieren. Wegen der Periodizität ergibt sich unmittelbar die Fortsetzung auf die Menge aller reellen Zahlen. |
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