l'Hospital mit mehreren Veränderlichen

10.08.2008, 15:50

The_Unknown

l'Hospital mit mehreren Veränderlichen

Hallo,

ich habe die Aufgabe, den folgenden Grenzewert zu berechnen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{sin (8xy)}{2xy} \end{eqnarray*}$
Nun sollte das ja eigentlich über l'Hospital gehen (Fall 0/0), aber ich kannte das bis jetzt nur mit einer Veränderlichen, nicht mit 2. Könnt ihr mir da helfen ?

Ciao The_Unknown

10.08.2008, 16:47

off

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Ich denke mal Du solltest ordentliche Klammern setzen, denn so wie es da steht, würde ich y einfach kürzen. Und dann hast Du einen einfachen Grenzwert...

10.08.2008, 16:52

Gump

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Hallo, The_Unknown

betrachte doch zuerst eine Variable als konstant und führe den Grenzübergang für die verbleibende Variable durch. Anschließend kannst du nochmal l`Hospital auf die Variable anwenden, die du zuerst als konstant betrachtest hast.

Gruß Gump

10.08.2008, 17:54

The_Unknown

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Ich hab mal die Klammern gesetzt.
In unserer Aufgabensammlung steht es übrigens genau so da smile

Wenn man nicht weiß, wie es gemeint ist, würde man schon y kürzen.

@Gump: Ich weiß nicht, ob das so einfach geht. Ich habe in unserer Vorlesung eine Methode gefunden, die so funktionieren soll:
y=tx setzen und den Grenzwert von f(x) für x->0 bilden

Das hat auch zum richtigen Ergebnis geführt, nur habe ich keine Ahnung, was ich da eigentlich gemacht habe. unglücklich

10.08.2008, 19:24

Leopold

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$\begin{eqnarray*} (x,y) \to (0,0) \end{eqnarray*}$ bedeutet ja, daß $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ simultan und unabhängig voneinander gegen 0 streben. Dann gilt aber auch $\begin{eqnarray*} t = xy \to 0 \end{eqnarray*}$ . Du mußt daher nur im vorliegenden Term $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ersetzen und den Grenzübergang $\begin{eqnarray*} t \to 0 \end{eqnarray*}$ durchführen. Dann bist du aber bei einem eindimensionalen Grenzwert.

10.08.2008, 20:03

Dual Space

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Nur um es nochmal mit aller Deutlichkeit zu sagen: Das hier

Zitat:

Original von Gump
betrachte doch zuerst eine Variable als konstant und führe den Grenzübergang für die verbleibende Variable durch. Anschließend kannst du nochmal l`Hospital auf die Variable anwenden, die du zuerst als konstant betrachtest hast.

führt im allgemeinen zu falschen Resultaten!!!

10.08.2008, 20:04

The_Unknown

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Das ist nun aber schon eine andere Methode als die meinige.

Könntest du mir bitte erklären, was es mit dieser Methode (y=xt) auf sich hat ? Und kommt man mit diese Methode IMMER auf den richtigen Grenzwert ?

Ich habe nämlich in der Aufgabensammlung gesehen, dass in einer Aufgabe der GW auf diese Weise berechnet wurde und dann nochmal y=Wurzelaus(x) gesetzt wurde und damit weitergerechnet wurde. Da kamen dann 2 unterschiedliche Ergebnisse und man folgerte: Es gibt keinen GW.
Wie kann ich dann nun aber sicher sein, dass man mit der "y=xt-Methode" immer zum richtigen Ergebnis kommt ?

@Dual Space: Das dachte ich mir bereits...

12.08.2008, 08:39

Cordovan

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Ich würde einfach die Reihendarstellung vom Sinus einsetzen smile

Cordovan

12.08.2008, 17:59

eicon11

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} (x,y) \to (0,0) \end{eqnarray*}$ bedeutet ja, daß $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ simultan und unabhängig voneinander gegen 0 streben. Dann gilt aber auch $\begin{eqnarray*} t = xy \to 0 \end{eqnarray*}$ . Du mußt daher nur im vorliegenden Term $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ersetzen und den Grenzübergang $\begin{eqnarray*} t \to 0 \end{eqnarray*}$ durchführen. Dann bist du aber bei einem eindimensionalen Grenzwert.

Das macht für mich am meißten Sinn, kann man dass so machen ? bzw. auf welchen Grenzwert kommt ihr damit ?

12.08.2008, 18:07

tmo

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Ja das kann man so machen.

Die Rechtfertigung direkt über die Definition:

Wir nehmen an $\begin{eqnarray*} a := \lim_{t \to 0} \frac{\sin (8t)}{2t} \end{eqnarray*}$ existiert. Dass das wirklich so ist und wie der Grenzwert lautet, sollte einem klar sein, wenn man sich schon mit Grenzwerten im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ beschäftigt.
Man kann also zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ so wählen, dass für $\begin{eqnarray*} |t|<\delta \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \left|\frac{\sin (8t)}{2t}-a\right| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Nun wählt man $\begin{eqnarray*} \|(x,y)\|< \sqrt{\delta} =: \delta_2 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt auch $\begin{eqnarray*} |x| = \sqrt{x^2} \leq \|(x,y)\| < \sqrt{\delta} \end{eqnarray*}$ und analog $\begin{eqnarray*} |y| < \sqrt{\delta} \end{eqnarray*}$ .

Zusammen also $\begin{eqnarray*} |xy| = |x||y| < \sqrt{\delta} \cdot \sqrt{\delta} = \delta \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \left|\frac{\sin (8xy)}{2xy}-a\right| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

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