Majorante gesucht

10.08.2008, 17:10

Gargy

Majorante gesucht

Hallo,

ich mal wieder...

Im Zusammenhang mit dem Konvergenzsatz von Lebesgue bin ich auf folgendes Integral gestoßen

$\begin{eqnarray*} \int^n _0 \left ( \frac{1+x}{n} \right ) c^{-2x} ~ dx \end{eqnarray*}$

Ich will jetzt auf Konvergenz prüfen und suche dementsprechend die Majorante (nach dem Konvergenzsatz).
Aber - wie immer - hab ich keinen Plan, wie ich anfangen soll. Kann mir jemand einen Tipp geben, was zu tun ist und wie ich vielleicht ganz schnell drauf komme?

11.08.2008, 00:13

Mathespezialschüler

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Was bei diesem Integral passiert, hängt ganz entscheidend davon ab, ob $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ größer oder kleiner als Eins ist. Im ersten Falle hat man Konvergenz, im zweiten sicher Divergenz. Ich gehe also mal davon aus, dass $\begin{eqnarray*} c>1 \end{eqnarray*}$ sein soll. Betrachte dann die Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} f_n:[0,\infty)\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f_n(x):=\begin{cases} \frac{1+x}{n}\cdot c^{-2x} & \text{für }0\leq x\leq n \\ 0 & \text{für }n<x \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [0,n] \end{eqnarray*}$ kannst du den von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ abhängigen Teil (d.h. den Bruch) doch sehr schön nach oben abschätzen und der Rest ist dann von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ unabhängig und auf $\begin{eqnarray*} [0,\infty) \end{eqnarray*}$ sicher integrierbar.

11.08.2008, 14:48

Gargy

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Ok, danke. Also betrachte ich zunächst nur den Teil, der von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ abhängig ist.

Allerdings fällt mir auch nach etlichen Stunden überlegen nichts besseres ein, als

$\begin{eqnarray*} \frac{1+x}{n} \leq ~ 1+x \end{eqnarray*}$

Geht das?

geschockt

ups, ich habe festegestellt, dass die Funktion eigentlich

$\begin{eqnarray*} \int^n _0 \left ( 1 + \frac{x}{n} \right )^n c^{-2x} ~dx \end{eqnarray*}$

lautet. Das sieht jetzt noch viel komplizierter aus. Die Vorgehensweise wird ja gleich sein, aber da fällt mir gar nichts zu ein für eine Abschätzung. Kann mir nochmal jemand helfen?

11.08.2008, 14:57

klarsoweit

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Wenn ich mich nicht irre, ist $\begin{eqnarray*} \left ( 1 + \frac{x}{n} \right )^n \end{eqnarray*}$ monoton steigend und konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ .

11.08.2008, 21:01

Gargy

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Hi,
bist du sicher? Ich habe für

$\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$

die Darstellung

$\begin{eqnarray*} 1+\frac{x}{1!}+ \frac{x²}{2!}+ \frac{x³}{3!}+... \end{eqnarray*}$

gefunden.

Bei $\begin{eqnarray*} \left (1 + \frac{x}{n} \right ) ^n \end{eqnarray*}$ kommt doch aber

$\begin{eqnarray*} \left ( 1+ \frac{x}{1} \right ) + \left (1 + \frac{x²}{4} \right ) + \left (1 + \frac{x³}{27} \right )... \end{eqnarray*}$

raus. traurig

Eine Frage habe ich noch (zu der falschen Funktion zwar, aber zum Verständnis):

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
$\begin{eqnarray*} f_n(x):=\begin{cases} \frac{1+x}{n}\cdot c^{-2x} & \text{für }0\leq x\leq n \\ 0 & \text{für }n<x \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Wieso ist die Funktion $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n < x \end{eqnarray*}$ ?

11.08.2008, 21:47

Airblader

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klarsoweit sprach ja auch von einer Folge, nicht von einer Reihe Augenzwinkern

air

11.08.2008, 22:10

Dual Space

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Zitat:

Original von Gargy
Hi,
bist du sicher? Ich habe für

$\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$

die Darstellung

$\begin{eqnarray*} 1+\frac{x}{1!}+ \frac{x²}{2!}+ \frac{x³}{3!}+... \end{eqnarray*}$

gefunden.

Auch die Zahl 3 hat verschiedene Darstellungen, so z.B. 4-1, 2+1, 6:2, ...

11.08.2008, 22:34

Gargy

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Ach so, ok Gott

Na, dann wäre der Teil also klar. Auf die andere Frage wollt ihr wohl nicht antworten? Hm, ist aber auch egal, da die Aufgabe ja eh eine andere war...

Danke euch allen!!!

12.08.2008, 07:53

Dual Space

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RE: Majorante gesucht
Du meinst diese Frage?

Zitat:

Original von Gargy
Aber - wie immer - hab ich keinen Plan, wie ich anfangen soll. Kann mir jemand einen Tipp geben, was zu tun ist und wie ich vielleicht ganz schnell drauf komme?

In der Mathematik gibt es halt nicht immer ein Universalrezept. Augenzwinkern

12.08.2008, 09:57

Gargy

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Hm, ein Universalrezept wäre aber super, für jeden Mathedeppen Augenzwinkern

Eigentlich meinte ich aber das hier:

Zitat:

Original von Gargy
Eine Frage habe ich noch (zu der falschen Funktion zwar, aber zum Verständnis):

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
$\begin{eqnarray*} f_n(x):=\begin{cases} \frac{1+x}{n}\cdot c^{-2x} & \text{für }0\leq x\leq n \\ 0 & \text{für }n<x \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Wieso ist die Funktion $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n < x \end{eqnarray*}$ ?

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