Basiswechsel

11.05.2006, 19:29

Anc

Basiswechsel

Hallo!

Folgende Aufgabe:

Gegeben: Bilinearform $\begin{eqnarray*} s: \mathbb R ^3 \times \mathbb R ^3 -> \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s= <v,w> = 3v1w2 + 4v1w3 - 3v2w1 - v2w3 - 4v3w1 + v3w2 \end{eqnarray*}$

Bestimme die Matrizen $\begin{eqnarray*} cB(s) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} cC(s) \end{eqnarray*}$
bzgl der Basen

$\begin{eqnarray*} B = (\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ), C = (\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} \frac{1}{4} \\ 1 \\ -\frac{3}{4} \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$

cB(s) habe ich bestimmt, indem ich eine leere Marix genommen habe und von links und von rechts 2 Vektoren anmultipliziert habe und dann geguckt hab, was in der Matroix stehen muss, damit das richtige rauskommt.

Wie komme ich jetzt am schnellsten zu der Matrix cC(s)?
Kann ich da was mit der Matrix des Basiswechsels machen?

11.05.2006, 20:00

Sunwater

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wenn mich nicht alles täuscht läuft ein Basiswechsel bei einer Bilinearform so ab:

M ist deine bekannte Matrix bezüglich der alten Basis, S ist die Basiswechselmatrix, dann ist die Matrix B bezüglich der neuen Basis folgende:

$\begin{eqnarray*} B = S^TMS \end{eqnarray*}$

wie du allerdings auf die Basiswechselmatrix S kommst weiß ich grad auch nicht so

11.05.2006, 20:05

Anc

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Hm.. könnte das nicht einfach die Matrix des Basiswechsel sein?

Also in diesem Falle die basisvektoren der 2. Matrix als Spalten in eine Matrix geschrieben?

Weiß da vll noch jemand was drüber? Ist doch kein so ausergewöhnliches Problem, oder?

11.05.2006, 23:47

Ben Sisko

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Was genau sollen denn cB(s) und cC(s) sein? Sollte man schon dazusagen.

11.05.2006, 23:59

Anc

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Achso, entschuldigung. Ich dachte, das wären geläugige beschreibungen.

Die cs sind die Matrizen der Abbildung bzgl der entsprechenden Basis.

12.05.2006, 00:23

Ben Sisko

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Hatte mich gefragt wofür die kleinen c's stehen.
Genaugenommen müsste eine solche Matrix zwei Basisangaben haben, da man Matrizen angeben kann, wo man Vektoren bzgl. B eingibt und als Ergebnis Bilder der Vektoren bzgl. C bekommt.
Ich nehm aber mal an, dass hier jeweils Basis gemeint ist.

Dann ist das schon richtig, was Sunwater gesagt hat, ausser, dass dort $\begin{eqnarray*} S^{-1} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} S^T \end{eqnarray*}$ stehen müsste.

Gruß vom Ben

12.05.2006, 00:30

Anc

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Stimmt, hier sind beide Basen die selben...

Also tatsächlich in diesem Falle die Basisvektoren als Spalten in eine Matrix eingetragen (weil die 1. Basis die Standardbasis ist) ?

12.05.2006, 00:41

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Anc
Also tatsächlich in diesem Falle die Basisvektoren als Spalten in eine Matrix eingetragen (weil die 1. Basis die Standardbasis ist) ?

Damit kriegst du die eine Basiswechselmatrix, die andere ist die Inverse davon. Und in der Mitte steht deine Abbildung bzgl. B.

12.05.2006, 01:06

Anc

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Prima, vielen Dank!

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