räumliche Einheitsvektoren / Winkel

11.05.2006, 20:00

el_studente

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räumliche Einheitsvektoren / Winkel

Hallo,

habe da folgende Aufgabe:

Wie lauten die räumlichen Einheitsvektoren $\begin{eqnarray*} \vec {v_1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{v_2} \end{eqnarray*}$ , welche mit der y-Achse den Winkel $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$ und mit der z-Achse den Winkel $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ einschließen?....(geht noch weiter, ist aber erstmal unwichtig)

Meine Frage(n):
Mir fehlt eine Vorstellung von der Lage der Vektoren im Raum.
Überhaupt ist mir nicht klar, wonach hier eigentlich gefragt ist.
Ich weiß was Einheitsvektoren sind und kenne mich mit Winkeln und Koordinatenachsen aus.
Aber mir fehlt wirklich jeglicher Ansatz.....

11.05.2006, 20:43

system-agent

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kannste auch so sehen: die einheitsvektoren legen ein affines koordinatensystem fest und damit haben deine vektoren die folgenden koordinaten:
$\begin{eqnarray*} \vec{v_1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\\vec{v_2}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\\ \vec{v_3}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zugegeben, ziemlich spitzfindig

11.05.2006, 20:56

mYthos

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Und diese Vektoren schließen nun mit der y- und z-Achse die geforderten Winkel ein? Wohl kaum ...

mY+

11.05.2006, 21:02

riwe

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aber FAST!
werner

11.05.2006, 21:24

el_studente

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hm.........
also um ehrlich zu sein:
Ich bin jetzt immer noch genauso schlau wie vorher.
Wie gesagt, ich kann mir die ganze Sache nach wie vor überhaupt nicht vorstellen.

11.05.2006, 21:27

system-agent

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Zitat:

Original von mYthos
Und diese Vektoren schließen nun mit der y- und z-Achse die geforderten Winkel ein? Wohl kaum ...

mY+

naja, soweit ich das weiß kann man ein koordinatensystem ja festlegen wie man lustig ist und wenn man das extra hinschreibt, wieso sollten diese vektoren dann nicht den geforderten winkel einschließen?

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11.05.2006, 21:33

el_studente

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@system-agent:

Aber sind denn deine drei Vektoren nicht selbst die x- , y- und z-Achse?

Oder liegen auf den Achsen?

11.05.2006, 21:36

system-agent

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ja, die liegen dann auf den achsen, welche ebendiese geforderten winkel (per def.) zueinander haben.
aber ich glaube du musst vektoren mit der länge 1 finden, die eben diesen winkel in einem kartesischen koordinatensystem zueinander haben?

11.05.2006, 21:37

Calvin

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@el_studente

Wenn ich meine Unterlagen hier richtig verstehe, dann hat der Einheitsvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \cos\alpha \\ \cos\beta \\ \cos\gamma \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta,\gamma \end{eqnarray*}$ mit der x,y,z-Achse.

Der bei dir fehlende Winkel ergibt sich automatisch aus der Bedingung, dass der Betrag des Vektors gleich 1 sein muss.

11.05.2006, 21:49

mYthos

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Nein, nein, sooo spitzfindig hat der Aufgabensteller bestimmt nicht gedacht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die Lösung ist leichter als vermutet.

Sei der gesuchte Vektor

$\begin{eqnarray*} \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

sein Betrag voraussetzungsgemäß $\begin{eqnarray*} |\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} \end{eqnarray*}$

Dann gelten:

1.: $\begin{eqnarray*} cos (60°) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2.: $\begin{eqnarray*} cos (45°) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Nenner sind in beiden Fällen 1, weil die Beträge beider Vektoren ebenfalls 1 sind.

Mittels der dritten Beziehung $\begin{eqnarray*} |\vec{v}| = 1 \end{eqnarray*}$ erhalten wir sehr leicht

$\begin{eqnarray*} \vec{v} = \begin{pmatrix} \frac{{1}}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Allgemein kann nun damit auch der von Calvin angegebene Sachverhalt verifiziert bzw. nachgewiesen werden!

mY+

11.05.2006, 22:13

el_studente

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o.k.
Jetzt hab ich einen Vektor der in 60° zur y- und in 45° zur z-Achse steht.
Ich suche doch aber zwei Einheitsvektoren mit oben genannten Eigenschaften!?!
Mir ist da der Zusammenhang nicht klar.

11.05.2006, 22:16

mYthos

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EDIT:

Es ergeben sich zwei Lösungen, denn aus der dritten Beziehung folgt:

$\begin{eqnarray*} v_1^2 = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_1 = + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} v_1 = - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

mY+

11.05.2006, 22:32

el_studente

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Das verstehe ich nicht.
Auch hat der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{v} =\begin{pmatrix} 0.5 \\ 0.5 \\ \sqrt{2}/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ doch garnicht den Betrag 1, ist also auch gar kein Einheitsvektor.

Man kann ihn aber natürlich auf 1 normieren.

11.05.2006, 22:36

mYthos

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Na geh, quadriere mal alle drei Komponenten und addiere das, was kommt raus??

11.05.2006, 22:41

el_studente

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Entschuldigung,
habe die Quadrate vergessen.
Trotzdem ist mir das noch nicht klar!

Denn die nächste Teilfrage wäre dann, welchen Winkel v_1 und v_2 einschließen.

11.05.2006, 22:51

mYthos

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Ich habe noch etwas bezüglich der Anzahl der Lösungen zu sagen (und oben editiert), es gibt noch eine zweite Lösung, die habe ich vorhin übersehen!

Aus der dritten Beziehung:

$\begin{eqnarray*} v_1^2 = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_1 = + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} v_1 = - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Die beiden unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen der ersten Komponente.

Den Winkel, den diese beiden Lösungsvektoren einschließen, berechnest du ebenfalls mit der $\begin{eqnarray*} cos(\phi) \end{eqnarray*}$ - Formel ..., rechne bitte nach (60°).

mY+

11.05.2006, 23:41

el_studente

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Jetzt ist der Groschen bei mir gefallen.
Und mit $\begin{eqnarray*} \phi=arccos(\frac{\vec{v_1}\cdot\vec{v_2}}{\mid \vec{v_1} \mid \cdot \mid \vec{v_2} \mid} ) \end{eqnarray*}$ ergibt sich der Winkel zu 60°.

VIELEN DANK

Jetzt soll ich aber noch die Einheitsvektoren angeben, welche auf den beiden Vektoren senkrecht stehen.
Das sind doch theoretisch unendlich viele, oder?

12.05.2006, 00:36

mYthos

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Unendlich viele nicht, es genügen 2 Big Laugh

Big Laugh

Hinweis: Was ist das Vektorprodukt zweier Vektoren und wie ist es definiert?

mY+

12.05.2006, 00:43

el_studente

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Vektorprodukt:
Der resultierende Vektor steht senkrecht auf den beiden anderen.
Der Betrag des res. V. ist gleich dem Produkt der Beträge der beiden anderen multipliziert mit dem sinus des eingeschlossenen Winkels.

Ja, zwei würden mir auch genügen, aber es sind doch unendlich viele die senkrecht auf v_1 bzw. v_2 stehen?

12.05.2006, 00:49

mYthos

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Aber nur je einer, der die Länge 1 hat!

$\begin{eqnarray*} \vec{v_1} \times \vec{v_2} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \vec{v_2} \times \vec{v_1} \end{eqnarray*}$ , diese normieren!

12.05.2006, 01:01

el_studente

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JAAA, natürlich!

v_1 und v_2 kreuzen und normieren.

Habe es verstanden Freude

Freude

Sie hätten Mathelehrer werden sollen!!!

Nochmals VIELEN DANK!!!

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