Beweis einer Ungleichung mit Mittelwertsatz der Differentialrechnung

12.05.2006, 08:26

GandalfX86

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Beweis einer Ungleichung mit Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Ich kapiere im Moment noch nicht ganz, wie man eine Ungleichung mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung beweisen kann.

Was ich weiß ist, dass ich irgendwie die Beziehung $\begin{eqnarray*} f(b) - f(a) = f'(\xi) (b - a) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \xi \in (a, b) \end{eqnarray*}$ ausnutzen muss.

Man muss dann ja irgendeine Funktion wählen, damit man nachher irgendetwas hat, was man dann abschätzen kann. Aber ich kann ja nicht einfach blind irgendeine Funktion wählen...

12.05.2006, 08:37

klarsoweit

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RE: Beiweis einer Ungleichung mit Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Ähh, ja. Und was ist jetzt die eigentliche Aufgabe, Problem, Frage ?

12.05.2006, 08:47

GandalfX86

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Wenn ich zum beispiel $\begin{eqnarray*} \mid arctan(x) \mid < \mid x\mid \end{eqnarray*}$ beweisen soll. Wie kann ich dann f(x) wählen. Es muss doch eigentlich gelten, dass die gewählte funktion größer oder gleich $\begin{eqnarray*} \mid arctan(x) \mid \end{eqnarray*}$ oder liege ich da falsch? Ich kapiere nicht so ganz wie ich die Funktion zu wählen habe damit ich nachher da $\begin{eqnarray*} f(x) =f(b) - f(a) = f'(\xi) (b - a) = ... < \mid x\mid \end{eqnarray*}$ stehen habe.

12.05.2006, 09:06

klarsoweit

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Nehmen wir mal f(x) = arctan(x) und betrachten b >= 0.
Mit dem Zwischenwertsatz gilt:
$\begin{eqnarray*} f(b) - f(0) = f'(\xi) \cdot (b - 0) \end{eqnarray*}$
Welchen Wert kann nun die 1. Ableitung maximal haben?

Analog kannst du b < 0 betrachten.

12.05.2006, 09:41

GandalfX86

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Nun, dann hab ich ja $\begin{eqnarray*} f(x) - f(0) = f'(\xi) \cdot (x - 0) = \frac{1}{1+\xi^{2}}\cdot x \end{eqnarray*}$

Wenn x > 0 (nenner > 1) habe dann ist das ja kleiner x. Und bei x < 0 sowieso, da der Ausdruck ja negativ wird. Funktioniert also.
Aber woher wusstest du jetzt, dass man f(x) so wählen kann? Wie macht man dass allgemein? Welche Bedingungen werden an f(x) gestellt?

Ich vermute mal, dass in diesem Fall doch gelten muss: $\begin{eqnarray*} \mid arctan(x) \mid \leq f(x) = f(x) - f(0) = f'(\xi) \cdot (x - 0) = ... \end{eqnarray*}$ allerdings würde das ja für x<0 nicht gelten, da der arcustangens da ja negativ ist

12.05.2006, 10:10

klarsoweit

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Deswegen habe ich ja gesagt, daß du den Fall x<0 separat betrachten mußt.
$\begin{eqnarray*} \mid arctan(x) \mid < \mid x\mid \end{eqnarray*}$
bedeutet nun mal, daß gelten soll:
$\begin{eqnarray*} arctan(x) < x \end{eqnarray*}$ für x >= 0
$\begin{eqnarray*} -arctan(x) < -x \end{eqnarray*}$ für x < 0

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12.05.2006, 11:10

GandalfX86

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Das sollte eigentlich schonmal so richtig sein:
$\begin{eqnarray*} x\geq 0: \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x):=arctan(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} arctan(x) = f(x) = f(x) - f(0) = f'(\xi)\cdot (x - 0) = \frac {x}{1+\xi} < x \end{eqnarray*}$

für: x < 0:
Da kann ich ja auch garnicht die 0 verwenden, da der Bereich < 0 betrachtet wird. Also versuche ich es mit -1:

$\begin{eqnarray*} x < 0: \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x):=-arctan(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -arctan(x) \leq f(x) = f(x) - f(-1) = f'(\xi)\cdot (x - (-1)) = -\frac {x+1}{1+\xi} < \frac {-x}{1+\xi} - \frac {1}{1+\xi} < \frac {-x}{1+\xi} < -x \end{eqnarray*}$
sollte doch hinkommen oder?

12.05.2006, 11:28

klarsoweit

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Zitat:

Original von GandalfX86
$\begin{eqnarray*} arctan(x) = f(x) = f(x) - f(0) = f'(\xi)\cdot (x - 0) = \frac {x}{1+\xi} < x \end{eqnarray*}$

Da hast du ein Quadrat geschlabbert:
$\begin{eqnarray*} arctan(x) = f(x) = f(x) - f(0) = f'(\xi)\cdot (x - 0) = \frac {x}{1+\xi^2} < x \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von GandalfX86
$\begin{eqnarray*} -arctan(x) \leq f(x) = f(x) - f(-1) = f'(\xi)\cdot (x - (-1)) = -\frac {x+1}{1+\xi} < \frac {-x}{1+\xi} - \frac {1}{1+\xi} < \frac {-x}{1+\xi} < -x \end{eqnarray*}$

Ach nein, was machst du denn da? unglücklich

unglücklich

Wieso sollte f(x) = f(x) - f(-1) gelten?

Das geht doch nach demselben Strickmuster wie oben:
$\begin{eqnarray*} -arctan(x) = f(x) = f(x) - f(0) = f'(\xi) \cdot (x - 0) = -\frac {x}{1+\xi^2} < -x \end{eqnarray*}$

12.05.2006, 11:44

GandalfX86

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aber wieso darf man denn da wieder die 0 verwenden? ich untersuche doch das Intervall $\begin{eqnarray*} (-\infty, 0) \end{eqnarray*}$

Sorry aber ich bin wohl heute etwas schwer von Begriff...

12.05.2006, 11:58

klarsoweit

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Es spricht ja nichts dagegen, die rechte Grenze miteinzuschließen. Wichtig ist, daß x<0 ist.

12.05.2006, 12:01

GandalfX86

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Hab mir nochmal den Mittelwertsatz angeschaut: Jetzt ist mir klar, dass man ja genau eine der Interwallgrenzen des Definitionsbereiches von f einsetzen muss, hier also 0.
Aber muss dass dann nicht $\begin{eqnarray*} -arctan(x) = f(x) = f(0) - f(x) = f'(\xi) \cdot (0 - x) = ... \end{eqnarray*}$ sein?

der Mittelwertsatz sagt doch für $\begin{eqnarray*} f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig auf $\begin{eqnarray*} (a, b) \end{eqnarray*}$ dann existiert ein $\begin{eqnarray*} \xi \in (a, b) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(b) - f(a) = f'(\xi) (b - a) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ ist das a ja die 0.

für $\begin{eqnarray*} x< 0 \end{eqnarray*}$ müsste das aber doch dann b = 0 sein, da wir doch im Intervall $\begin{eqnarray*} (-\infty, 0) \end{eqnarray*}$ sind und damit $\begin{eqnarray*} -arctan(x) = f(x) = f(0) - f(x) = f'(\xi) \cdot (0 - x) = ... \end{eqnarray*}$ .

12.05.2006, 12:52

klarsoweit

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Also dann machen wir es mal ganz formal:
Wir betrachten das Intervall [a; 0] mit a < 0 und die Funktion f(x) = -arctan(x).
Dann gilt mit dem Zwischenwertsatz:
$\begin{eqnarray*} f(a) - f(0) = f'(\xi) \cdot (a - 0) = \frac{-a}{1+\xi^2} < -a \end{eqnarray*}$
Also ist -arctan(a) < -a für a < 0. Fertig.

12.05.2006, 13:09

GandalfX86

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Wenn du aber nach der Definition gehst hättest du doch:

$\begin{eqnarray*} f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig auf $\begin{eqnarray*} (a, b) \end{eqnarray*}$ dann existiert ein $\begin{eqnarray*} \xi \in (a, b) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(b) - f(a) = f'(\xi) (b - a) \end{eqnarray*}$

wenn man nun $\begin{eqnarray*} (a, 0) \end{eqnarray*}$ betrachtet, dann ist dass aber doch $\begin{eqnarray*} b= 0 \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} f(0) - f(a) = f'(\xi) (0 - a) = -\frac{-a}{1+\xi^2}<-a \end{eqnarray*}$

12.05.2006, 13:22

klarsoweit

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Zitat:

Original von GandalfX86
der Mittelwertsatz sagt doch für $\begin{eqnarray*} f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig auf $\begin{eqnarray*} (a, b) \end{eqnarray*}$ dann existiert ein $\begin{eqnarray*} \xi \in (a, b) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(b) - f(a) = f'(\xi) (b - a) \end{eqnarray*}$

Ob da steht:
$\begin{eqnarray*} f(b) - f(a) = f'(\xi) \cdot (b - a) \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} f(a) - f(b) = f'(\xi) \cdot (a - b) \end{eqnarray*}$
ist doch wurscht. Es paßt immer. Aber von mir aus:

Wir betrachten das Intervall [a; 0] mit a < 0 und die Funktion f(x) = -arctan(x).
Dann gilt mit dem Zwischenwertsatz:
$\begin{eqnarray*} f(0) - f(a) = f'(\xi) \cdot (0 - a) = \frac{a}{1+\xi^2} > a \end{eqnarray*}$
Also ist für a < 0: arctan(a) > a bzw. -arctan(a) < -a. Fertig.

PS: Stetigkeit für f reicht nicht. f muß differenzierbar sein.

12.05.2006, 13:38

GandalfX86

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für x<0 sind also beide Varianten richtig?

1.
$\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x) := -arctan(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -arctan(x) = f(x) = f(x) - f(0) = f'(\xi) \cdot (x - 0) = -\frac {x}{1+\xi^2} < -x \end{eqnarray*}$

2.

$\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x) := -arctan(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -arctan(x) = f(x) = f(0) - f(x) = f'(\xi) \cdot (0 - x) = -\frac {-x}{1+\xi^2} < -x \end{eqnarray*}$

funktionieren tut es ja beides.

12.05.2006, 13:45

klarsoweit

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Nein, die 2. Variante ist falsch. Es gilt nun mal nicht:
$\begin{eqnarray*} f(x) = f(0) - f(x) \end{eqnarray*}$

Richtig ist folgendes:
$\begin{eqnarray*} f(0) - f(x) = f'(\xi) \cdot (0 - x) \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} f(x) - f(0) = f'(\xi) \cdot (x - 0) \end{eqnarray*}$

12.05.2006, 15:05

GandalfX86

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Stimmt natürlich. Danke für die Hilfe.

Eine Frage hätte ich noch: jetzt habe ich noch die Ungleichung $\begin{eqnarray*} e^x>e \cdot x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$ zu beweisen. Da funktioniert die Wahl $\begin{eqnarray*} f(x)=e^x \end{eqnarray*}$ ja nicht. Was mache ich da?

12.05.2006, 15:40

klarsoweit

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Nimm $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{x-1} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.05.2006, 07:45

GandalfX86

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Zitat:

Original von klarsoweit
Nimm $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{x-1} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

wie soll das denn funktionieren? f(x) muss doch eine Nullstelle bei 1 haben, sonst funktioniert das doch nicht.

$\begin{eqnarray*} e^{x-1} > x \end{eqnarray*}$ muss ich ja für x>1 zeigen

dann gilt aber nicht $\begin{eqnarray*} e^{x-1} \geq f(x)=f(x)-f(1) \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} f(1) = 1 \end{eqnarray*}$ ist. Man könnte nun $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{x-1} -1 \end{eqnarray*}$ setzen, was aber am Ende mit der Abschätzung nicht ganz einfach wird, da dann $\begin{eqnarray*} e^{\xi-1} (x-1) > x \end{eqnarray*}$ zu zeigen wäre, was noch komplizierter ist wie der ausdruck zu Anfang.
Die einzige andere Idee, die ich hatte, war die Ungleichung zu Anfang noch weiter umzuformen zu $\begin{eqnarray*} x-1 < ln(x) \end{eqnarray*}$ . Mit $\begin{eqnarray*} x-1 \geq f(x) = f(x) - f(1) = f'(\xi)(x-1) = x -1 < ln(x) \end{eqnarray*}$ .
Allerdings ist die Abschätzung am ende doch eigentlich nicht ganz eindeutig. Gibt es da einen besseren weg?

13.05.2006, 10:07

klarsoweit

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Zitat:

Original von GandalfX86
wie soll das denn funktionieren? f(x) muss doch eine Nullstelle bei 1 haben, sonst funktioniert das doch nicht.

Wieso?

verwirrt

Im Mittelwertsatz ist von Nullstellen nicht die Rede.
Mit oben genannter Funktion gilt:
$\begin{eqnarray*} f(x) - f(1) = f'(\xi) \cdot (x - 1) \end{eqnarray*}$
Setz mal die Funktion ein und schätze die Ableitung nach unten geeignet ab. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.05.2006, 12:25

GandalfX86

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Zitat:

Wieso?

verwirrt

Im Mittelwertsatz ist von Nullstellen nicht die Rede.
Mit oben genannter Funktion gilt:
$\begin{eqnarray*} f(x) - f(1) = f'(\xi) \cdot (x - 1) \end{eqnarray*}$

Das stimmt schon, aber um die unglichung zu zeigen, muss ich doch irgendwie von dem ursprünglichen Ausdruck zu dem kommen, was ich haben will also:
$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{x-1}=f(x) - f(1) = f'(\xi) \cdot (x - 1)= ... > x \end{eqnarray*}$

13.05.2006, 14:30

klarsoweit

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Zitat:

Original von GandalfX86
$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{x-1}=f(x) - f(1) = f'(\xi) \cdot (x - 1)= ... > x \end{eqnarray*}$

Nein, so gehts nicht.
$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{x-1}=f(x) - f(1) \end{eqnarray*}$
Dieser Teil ist falsch.

$\begin{eqnarray*} f(x) - f(1) = f'(\xi) \cdot (x - 1) \end{eqnarray*}$
Jetzt setz doch mal die Funktion ein.

13.05.2006, 16:42

GandalfX86

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$\begin{eqnarray*} f(x) - f(1) = f'(\xi) \cdot (x - 1) = e^{x-1}(x-1) = xe^{x-1}-e^{x-1} \end{eqnarray*}$

Die Frage ist jetzt doch, woher ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} xe^{x-1}-e^{x-1}>x \end{eqnarray*}$ gilt. Ich weiß zwar, dass $\begin{eqnarray*} xe^{x-1}>x \end{eqnarray*}$ gilt aber $\begin{eqnarray*} - e^{x-1} \end{eqnarray*}$ ist ja auch noch da.

13.05.2006, 16:46

klarsoweit

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Zitat:

Original von GandalfX86
$\begin{eqnarray*} f(x) - f(1) = f'(\xi) \cdot (x - 1) = e^{x-1}(x-1) = xe^{x-1}-e^{x-1} \end{eqnarray*}$

Also wenn, dann muß es so lauten:
$\begin{eqnarray*} f(x) - f(1) = f'(\xi) \cdot (x - 1) = e^{\xi -1} \cdot (x-1) \end{eqnarray*}$
Aber links mußt du die Funktion auch noch einsetzen. Und bedenke, daß die e-Funktion > 1 ist, wenn der Exponent größer Null ist.

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