Formel umformen für gesuchte Variable

11.08.2008, 12:13

eierkopf1

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Formel umformen für gesuchte Variable

Hallo!

Ich habe schon wieder eine Aufgabe, die ich nicht lösen kann:

"Stelle die gesuchte Variable so dar, dass im Ergebnis keine Doppelbrüche vorkommen:

$\begin{eqnarray*} E = \frac{v_1 v_2}{2(m_1 + m_2)}(m_1 - m_2^{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m_1 = ? \end{eqnarray*}$

Lösung:
1.) Ich löse den Bruch auf, in dem ich mal dem Zähler multipliziere:

$\begin{eqnarray*} 2E (m_1 + m_2)= v_1 v_2(m_1 - m_2^{2}) \end{eqnarray*}$

Jedoch wie gehts jetzt weiter?

$\begin{eqnarray*} m_1 \end{eqnarray*}$ kommt ja zweimal vor, wie löse ich das?

mfg

11.08.2008, 12:17

klarsoweit

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RE: Formel umformen für gesuchte Variable
Löse die Klammern auf, sammle alles mit m_1 auf der linken Seite, den Rest auf der rechten Seite. Dann m_1 ausklammern.

Bist du sicher, daß es $\begin{eqnarray*} m_1 - m_2^2 \end{eqnarray*}$ heißt und nicht $\begin{eqnarray*} m_1^2 - m_2^2 \end{eqnarray*}$ ?
Wenn ja, sieht die Sache anders aus.

11.08.2008, 12:26

eierkopf1

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RE: Formel umformen für gesuchte Variable

Zitat:

Original von klarsoweit
Bist du sicher, daß es $\begin{eqnarray*} m_1 - m_2^2 \end{eqnarray*}$ heißt und nicht $\begin{eqnarray*} m_1^2 - m_2^2 \end{eqnarray*}$ ?
Wenn ja, sieht die Sache anders aus.

Ja, die Angabe lautet nur $\begin{eqnarray*} m_1 - m_2^{2} \end{eqnarray*}$ .

Wäre es $\begin{eqnarray*} m_1^{2} - m_2^{2} \end{eqnarray*}$ , dann müsste ich es mit der binomischen Formel lösen, oder?

Danke sehr für die Hilfe.

Als Ergebnis komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} m_1 = \frac{-v_1v_2m_2^{2} - 2Em_2}{2E-v_1v_2} \end{eqnarray*}$

mfg

PS: Ich hatte nie einen Doppelbruch ?

11.08.2008, 12:45

eierkopf1

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RE: Formel umformen für gesuchte Variable
Jetzt habe ich schon so ein Beispiel:

"Stelle die gesuchte Variable so dar, dass im Ergebnis keine Doppelbrüche vorkommen:

$\begin{eqnarray*} E = \frac{v_1 v_2}{2(m_2 + m_2^{2})}(m_1^{2} - m_2^{2})-g \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m_2 = ? \end{eqnarray*}$

Lösung:
1.) Ich addiere g

2.) Ich löse den Bruch auf, in dem ich mal dem Zähler multipliziere:

$\begin{eqnarray*} (E + g)2(m_2 + m_2^{2}) = v_1v_2(m_1^{2} - m_2^{2}) \end{eqnarray*}$

Jedoch wie gehts jetzt weiter? Ausmultiplizieren?
3.)

$\begin{eqnarray*} 2Em_2 + 2Em_2^{2} + 2gm_2 + 2gm_2^{2} = v_1v_2m_1^{2} - v_1v_2m_2^{2} \end{eqnarray*}$

Da stehe ich jetzt an..

Kann mir jemand einen Tipp geben?

mfg

11.08.2008, 13:18

klarsoweit

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RE: Formel umformen für gesuchte Variable

Zitat:

Original von eierkopf1
Wäre es $\begin{eqnarray*} m_1^{2} - m_2^{2} \end{eqnarray*}$ , dann müsste ich es mit der binomischen Formel lösen, oder?

Ja.

Zitat:

Original von eierkopf1
Als Ergebnis komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} m_1 = \frac{-v_1v_2m_2^{2} - 2Em_2}{2E-v_1v_2} \end{eqnarray*}$

Stimmt.

Zitat:

Original von eierkopf1
PS: Ich hatte nie einen Doppelbruch ?

Worauf sich das bezieht, ist mir auch nicht klar.

Zitat:

Original von eierkopf1
2.) Ich löse den Bruch auf, in dem ich mal dem Zähler multipliziere:

Vermutlich hast du mit dem Nenner multipliziert. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von eierkopf1
Jedoch wie gehts jetzt weiter? Ausmultiplizieren?

Ja. Alles auf der linken Seite sammeln und jeweils m_2² bzw. m_2 ausklammern.

11.08.2008, 13:31

eierkopf1

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RE: Formel umformen für gesuchte Variable

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von eierkopf1
2.) Ich löse den Bruch auf, in dem ich mal dem Zähler multipliziere:

Vermutlich hast du mit dem Nenner multipliziert. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ja genau. gg

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von eierkopf1
Jedoch wie gehts jetzt weiter? Ausmultiplizieren?

Ja. Alles auf der linken Seite sammeln und jeweils m_2² bzw. m_2 ausklammern.

Stimmt das ?

$\begin{eqnarray*} m_2(2E+2g)+m_2^{2}(2E+2g-v_1v_2)-v_1v_2m_1^{2}= 0 \end{eqnarray*}$

Aber jetzt komme ich schon wieder nicht weiter unglücklich

unglücklich

mfg

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11.08.2008, 13:46

klarsoweit

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RE: Formel umformen für gesuchte Variable

Zitat:

Original von eierkopf1
$\begin{eqnarray*} m_2(2E+2g)+m_2^{2}(2E+2g-v_1v_2)-v_1v_2m_1^{2}= 0 \end{eqnarray*}$

Das sollte vermutlich $\begin{eqnarray*} m_2(2E+2g)+m_2^{2}(2E+2g+v_1v_2)-v_1v_2m_1^{2}= 0 \end{eqnarray*}$ heißen.

Jetzt hast du eine quadratische Gleichung in m_2. Da kannst du die üblichen Lösungsverfahren anwenden.

OS: wer denkt sich solche Gleichungen aus? verwirrt

verwirrt

Sieht alles sehr physikalisch aus.

11.08.2008, 13:52

eierkopf1

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RE: Formel umformen für gesuchte Variable

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von eierkopf1
$\begin{eqnarray*} m_2(2E+2g)+m_2^{2}(2E+2g-v_1v_2)-v_1v_2m_1^{2}= 0 \end{eqnarray*}$

Das sollte vermutlich $\begin{eqnarray*} m_2(2E+2g)+m_2^{2}(2E+2g+v_1v_2)-v_1v_2m_1^{2}= 0 \end{eqnarray*}$ heißen.

Jetzt hast du eine quadratische Gleichung in m_2. Da kannst du die üblichen Lösungsverfahren anwenden.

OS: wer denkt sich solche Gleichungen aus? verwirrt

verwirrt

Sieht alles sehr physikalisch aus.

Ja, Plus ;-)

Was sind hierzu übliche Lösungsverfahren ? Ich kenne nur die Quadratische Lösungsformel.

zu OS: kA

mfg

11.08.2008, 14:12

klarsoweit

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RE: Formel umformen für gesuchte Variable

Zitat:

Original von eierkopf1
Was sind hierzu übliche Lösungsverfahren ? Ich kenne nur die Quadratische Lösungsformel.

Das wäre ja schon mal was.

Zitat:

Original von eierkopf1
zu OS: kA

Da sollte zwar "PS" stehen, aber egal. Also irgendwo müssen doch diese Aufgaben herkommen.

11.08.2008, 14:26

eierkopf1

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RE: Formel umformen für gesuchte Variable

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von eierkopf1
Was sind hierzu übliche Lösungsverfahren ? Ich kenne nur die Quadratische Lösungsformel.

Das wäre ja schon mal was.

Zitat:

Original von eierkopf1
zu OS: kA

Da sollte zwar "PS" stehen, aber egal. Also irgendwo müssen doch diese Aufgaben herkommen.

Es sind Schularbeitenbeispiele der 4. Klasse Oberstufe.

Zum Lösungsverfahren:

Also ist das die Lösung?

$\begin{eqnarray*} m_2= \frac{ -(2E+2g)\pm \sqrt{(2E+2g)^{2} - 4(2E+2g+v_1v_2)(-v_1v_2m_1^{2})}}{ 2(2E+2g+v_1v_2) } \end{eqnarray*}$

Da kommen natürlich 2 Lösungen für $\begin{eqnarray*} m_2 \end{eqnarray*}$ heraus, oder?

mfg

11.08.2008, 14:47

klarsoweit

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RE: Formel umformen für gesuchte Variable
Ob und wieviel Lösungen da rauskommen, hängt von dem Vorzeichen des Terms unter der Wurzel ab.

11.08.2008, 19:41

eierkopf1

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OK, das hängt natürlich von den Werten für die Variablen ab.

Kann man sonst noch etwas kürzen? Weil dieser Term sieht schon sehr unübersichtlich aus. verwirrt

verwirrt

mfg

11.08.2008, 22:23

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Ehe hier noch lang und breit über die Lösbarkeit in allen möglichen Parameterfällen diskutiert wird:

Die Symbolwahl lässt auf einen physikalischen Hintergrund schließen, allem Anschein nach aus der Mechanik. Wenn z.B. $\begin{eqnarray*} m_1,m_2 \end{eqnarray*}$ Massen sind und es hier nicht gerade um Antimaterie des Warp-Antriebs geht, dann kann man ruhigen Gewissens eventuelle negative Lösungen der quadratischen Gleichung weglassen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und das sind vielleicht nicht die einzigen Größen, von denen man Positivität annehmen kann?

12.08.2008, 07:58

eierkopf1

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Ehe hier noch lang und breit über die Lösbarkeit in allen möglichen Parameterfällen diskutiert wird:

Die Symbolwahl lässt auf einen physikalischen Hintergrund schließen, allem Anschein nach aus der Mechanik. Wenn z.B. $\begin{eqnarray*} m_1,m_2 \end{eqnarray*}$ Massen sind und es hier nicht gerade um Antimaterie des Warp-Antriebs geht, dann kann man ruhigen Gewissens eventuelle negative Lösungen der quadratischen Gleichung weglassen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und das sind vielleicht nicht die einzigen Größen, von denen man Positivität annehmen kann?

Danke für die Antwort!

Ok, aber was heißt das jetzt für meinem Fall?

mfg

13.08.2008, 08:14

eierkopf1

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Weiß jemand noch wie ich diesen langen Term etwas übersichtlicher machen kann, oder geht da nichts mehr?

mfg

13.08.2008, 08:38

klarsoweit

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Du kannst allenfalls unter der Wurzel eine 4 ausklammern, das dann aus der Wurzel rausziehen und dann durch 2 kürzen. Mehr sehe ich ich nicht.

13.08.2008, 17:24

eierkopf1

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RE: Formel umformen für gesuchte Variable
Danke für die Hilfe und den Tipp.

Also wär das die Lösung:

$\begin{eqnarray*} m_2= \frac{ -E-g\pm \sqrt{(E^{2} + 2Eg+g^{2}) - (2E+2g+v_1v_2)(-v_1v_2m_1^{2})}}{ 2E+2g+v_1v_2 } \end{eqnarray*}$

mfg

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