Wer erklärt mir die pq Formel?

12.05.2006, 13:07

TimoL

Wer erklärt mir die pq Formel?

Ich sehe nur noch Zahlen vor mir und Verstehe die ganze Herleitung dieser nicht. Es geht um die pq Formel.

Meine Aufgabe lautet:

$\begin{eqnarray*} 2x²+7x-4=0 \end{eqnarray*}$

Auf Wikipedia ist eine Beispielaufgabe mit Lösungsweg gegeben, die ich aber absolut nicht nachvollziehen kann. Auch andere Quellen bringen mich irgedwie nicht weiter.

Soweit wie ich folgen konnte muss ich jetzt alle Faktoren durch 2 Teilen, also:

$\begin{eqnarray*} x²+3,5x-2=0 \end{eqnarray*}$

Und jetzt soll sich dahinter eine binomische Formel befinden, die ich aber nicht sehen kann. Ich denke ich bin da eher auf dem völlig falschen weg.

Wer kann helfen?

lg Timo

12.05.2006, 13:12

JochenX

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nö, ein Binom musst du hier nicht mehr suchen, gerade das umgehen diese Formeln ja.
Was du meinst ist quadratische Ergänzung und damit beweist du die p,q-Formel.

Du musst jetzt nur noch stur einsetzen.
p=3,5
q=-2

12.05.2006, 13:14

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Das mit der Division war schonmal richtig. Das mit der binomischen Formel brauchst Du nicht. Wenn es dich aber trotzdem interessiert, bekommst du sie heraus, wenn du die Gleichung quadratisch ergänzt.
Die pq-Formel lautet ja $\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^{2}}{4}-q } \end{eqnarray*}$ und die Normalform einer quadratischen Gleichung lautet $\begin{eqnarray*} y=x^{2}+px+q \end{eqnarray*}$ .
Jetzt brauch Du nur noch zu überlegen, was p bzw. q ist...

12.05.2006, 13:24

TimoL

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Wenn ich p und q jetzt einsetze bekomme ich folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} x_{1/2} = -\frac{3,5}{2}\pm \sqrt{\frac{3,5^2}{4}-(-2)} \end{eqnarray*}$

Das habe ich vorher auch schon versucht, aber mit dieser Formel jetzt kann ich absolut nichts anfangen, wie man zum Beispiel die Wurzel aus 25 zieht das ist mir bekannt, aber wie ich die oben stehende Wrzel zb ziehen soll, das ist mir ein Rätzel.

12.05.2006, 13:29

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Am Besten du vereinfachst zu aller erst den Ausdruck unter der Wurzel. Dann am Besten per Taschenrechner ausrechen... oder hat schriftlich die Wurzel ziehen Augenzwinkern

(frag mich aber nicht wie das geht)

12.05.2006, 22:10

TimoL

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Da für den Test den ich machen muss kein Taschenrechner erlaubt ist ist es eher schwer vorzustellen das das der richtige weg ist, ich mache es aber trotzdem mal nach meinem denken, mit der Ansicht das dieses eh nicht richtig ist:

$\begin{eqnarray*} x_{1/2} = -\frac{3,5}{2}\pm \sqrt{\frac{12,25}{4}-(-2)} \end{eqnarray*}$

in der wurzel dividiert durch 4:

$\begin{eqnarray*} x_{1/2} = -\frac{3,5}{2}\pm \sqrt{3,0625-(-2)} \end{eqnarray*}$

in der Wurzel klamer auflösen:

$\begin{eqnarray*} x_{1/2} = -\frac{3,5}{2}\pm \sqrt{3,0625 +2} \end{eqnarray*}$

Ausrechnen (3,0625+2=5,0625) und Wurzel ziehen:

$\begin{eqnarray*} x_{1/2} = -\frac{3,5}{2}\pm 2,25 \end{eqnarray*}$

Ich kann mir nicht vorstellen das das richtig ist.

12.05.2006, 22:16

Calvin

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Es ist aber tatsächlich ricthig. Wenn du Brüche nimmst, kannst du die Wurzel auch im Kopf ausrechnen. $\begin{eqnarray*} 3,5=\frac{7}{2} \end{eqnarray*}$ . Probiere es mal aus. Meiner Meinung nach ist viel Übung in Bruchrechnen sicherer als ein Taschenrechner, bei dem man vielleicht nicht merken würde, wenn man sich vertippt.

12.05.2006, 22:30

TimoL

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"Wenn du Brüche nimmst, kannst du die Wurzel auch im Kopf ausrechnen."

Ich glaube da konnte ich jetzt nicht so ganz folgen, was hat 3,5=7/2 mit Wurzel ziehen zu schaffe? Ich meine 7/2 ist zwar der 3,5 im Bruch geschrieben, aber wie komme ich von diesem wert auf die Wurzel von 3,5, nämlich 1,8708..., wobei mich eher interessieren würde wie man 5,0625 als Bruch schreibt und aus diesem Wert die Wurzel ohne Rechner errechnet.

Das Ergebniss was der Lehrer also vn mir haben möchte wäre:

x1=1,75
x2=2,25

richtig?

13.05.2006, 00:18

MrPSI

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Falsch, die Ergebnisse, die dein Lehrer sehen will sind nicht die richtigen Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} 2x^2 + 7x -4=0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x^2 + \frac{7}{2} x -2=0 \end{eqnarray*}$ .
Das kannst du ganz leicht nachprüfen, indem du die Lösungen in die Gleichung einsetzt.

Ich gebe Calvin da völlig recht, mit Brüchen zu rechnen erleichtert das Ganze, besonders rechentechnisch. Wenn du Brüche verwendest, kommen meist schöne Zahlen raus, aus denen man die Wurzel ziehen kann raus.

13.05.2006, 02:03

Calvin

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Zitat:

Original von TimoLwobei mich eher interessieren würde wie man 5,0625 als Bruch schreibt und aus diesem Wert die Wurzel ohne Rechner errechnet.

Ganz einfach Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \frac{50625}{10000} \end{eqnarray*}$ . Jetzt nur noch kürzen. Aber das musst du nicht machen. Wenn du von Anfang an mit Brüchen arbeitest, ersparst du dir komplizierte Rechnungen mit Kommazahlen.

$\begin{eqnarray*} \frac{3,5^2}{4}+2=3,5^2\cdot\frac{1}{4}+2=\left(\frac{7}{2}\right)^2\cdot\frac{1}{4}+2 \end{eqnarray*}$ .

Wenn du die Brüche weiter zusammenfasst kannst du aus Zähler und Nenner einzeln die Wurzel ziehen.

13.05.2006, 21:34

Arashi

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Wurzel mit p-q-Formel lösen?
Ich habe hier eine Formel die ganz stark nach p-q-Formel aussieht aber ich verstehe beim besten Willen nicht, wie ich von der normalen p-q-Formel geschweige denn über vervielfachen, potenzieren oder was auch immer darauf komme.

Gegeben war:
$\begin{eqnarray*} 0=-0,5x + \sqrt{x} + 4 \end{eqnarray*}$
Jetzt dividiere ich den ganzen Term durch -0,5 und bekomme
$\begin{eqnarray*} 0=x - 2\sqrt{x} - 8 \end{eqnarray*}$

Jetzt kommt der Teil den ich nicht verstehe, es wird prinzipiell wie in der p-q-Formel gelöst, aber ich verstehe nicht, wie man darauf kommt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} = 1\pm \sqrt{1+8} \end{eqnarray*}$
Ich verstehe daran nicht, wie ich an die Wurzel auf der linken Seite komme ohne die anderen Werte zu ändern.

13.05.2006, 22:37

JochenX

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$\begin{eqnarray*} x-2\sqrt{x}-8=(\sqrt{x})^2-\sqrt{x}-8 \end{eqnarray*}$ , das ist eine quadratische Gleichung.
Nicht nach x, aber nach WURZEL(x)

14.05.2006, 12:12

Arashi

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Danke!
Ich habe es heute morgen auch nochmal versucht und gelöst. ^_^

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