gleichungen mit formvariablen

11.08.2008, 12:45

Bluntastic

gleichungen mit formvariablen

hi!

hatten heute das thema (siehe topic) dran und bin da jetzt ehrlich gesagt ein bisschen dran am verzweifeln. was ich noch ganz sämig hinbekam war 3ax-9a²=6ab-bx+b²

hapern tuts aber schon bei der nächsten aufgabe die da wäre ax+4x=a²+7a+12 Hammer

beide aufgaben sind zu x auf zu lösen. ich will hier keine lösung der aufgabe, eine verständliche denkstütze/hilfe würde mir schon mehr als ausreichen Gott

freundliche grüße!!

11.08.2008, 12:56

Zellerli

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Du sollst nach x auflösen? Also x soll alleine dastehen in der Form

$\begin{eqnarray*} x= ... \end{eqnarray*}$

Also ein genereller Weg ist jetzt schwer zu formulieren. Wie wäre es mit:

1. x-Terme auf eine Seite bringen
2. x-Terme zusammenfassen
3. x ausklammern

Bei Brüchen wird dann meistens noch wichtig: x aus dem Nenner herausbringen.

Hoffe ich habe nichts wesentliches vergessen.

11.08.2008, 13:07

system-agent

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Manchmal können die binomischen Formeln sehr hilfreich sein.

Aber das ist wohl kaum Hochschulmathe unglücklich

11.08.2008, 17:44

Bluntastic

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hmm bringt mich jetzt ehrlich gesagt nicht wirklich weiter ^^
es hieß man könne auf beiden seiten eine gleichwertige klammer bilden und diese beiden dann weg kürzen. demnach hab ich dann x(a+4)=a²+7a+12 da stehn. ab hier steh ich aufm schlauch - keine ahnung wie ich auf der anderen seite die gleiche klammer bilden kann unglücklich

Zitat:

Original von system-agent Aber das ist wohl kaum Hochschulmathe unglücklich

bin grad in die oberstufe eingestiegen (berufsoberschule), da dacht ich mir hier sei ich richtig aufgehoben. sollte dem nicht so sein bitte ich um verzeihung - einfach verschieben Augenzwinkern

verregnete grüße aus mainz smile

11.08.2008, 17:50

Jacques

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Hallo,

Wenn Du Dich nicht irgendwo verschrieben hast, brauchst Du überhaupt keine Klammer mehr zu bilden. Dividiere die Gleichung einfach durch (a + 4), dann steht x isoliert auf der linken Seite, und rechts kommt die Variable ja auch nicht mehr vor.

(man sollte dann noch die Einschränkung $\begin{eqnarray*} a \neq -4 \end{eqnarray*}$ notieren, denn bei a = -4 ergibt sich eine Division durch 0)

11.08.2008, 18:06

Bluntastic

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hmm also:
$\begin{eqnarray*} x = \frac{a²+7a+12}{(a+4)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 8a+3 \end{eqnarray*}$ wobei ich mir hier mehr als sicher bin dass das nicht richtig ist verwirrt

aber selbst wenn dein lösungsweg ein, oder sogar der, richtige ist frage ich mich dennoch was es mit dem "leitsatz" der werten frau s. auf sich hat :|

nur so am rande - schule ist ne weile her und bin jetzt dabei das abi nach zu holen. die ganzen basics sind noch irgendwo verborgen, brauch nur etwas zeit, übung und jemanden mit ner portion geduld um es wieder aus zu graben Big Laugh

11.08.2008, 18:23

Jacques

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Also wenn Du durch a + 4 dividierst, erhältst Du auf jeden Fall die richtige Lösung. Du kannst sie aber noch weiter vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} a^2 + 7a + 12 = (a + 3)(a + 4) \end{eqnarray*}$

(man kommt darauf durch Linearfaktorzerlegung des quadratischen Terms oder Polynomdivision)

Wenn man kürzt, erhält man:

$\begin{eqnarray*} x = a + 3 \end{eqnarray*}$

11.08.2008, 18:32

Bluntastic

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jetzt ist mir aber immernoch total schleierhaft wie du da auf (a+3)(a+4) kommst :/
wäre dir sehr verbunden wenn du mir eben den lösungsweg auflösen und erklären könntest Gott

^^
der term ist garnicht groß. so schwer kanns ja garnich sein unglücklich

11.08.2008, 18:50

Jacques

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Also dass die Gleichheit $\begin{eqnarray*} a² + 7a + 12 = (a + 3)(a + 4) \end{eqnarray*}$ tatsächlich gilt, kannst Du ja durch Ausmultiplizieren selbst überprüfen.

Wie man darauf kommt, ist so einfach leider nicht. Zum einen könntest Du auf gut Glück die Polynomdivision

$\begin{eqnarray*} (a^2 + 7a + 12) : (a + 4) \end{eqnarray*}$

machen, um zu sehen, ob sich der Term nicht als Produkt mit dem Faktor a + 4 darstellen lässt. (dann ließe sich der Nenner "wegkürzen")

Und tatsächlich geht die Division ohne Rest auf:

$\begin{eqnarray*} (a^2 + 7a + 12) : (a + 4) = a + 3 \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} (a^2 + 7a + 12) = (a + 4) (a + 3) \end{eqnarray*}$

Zum anderen gibt es die Linearfaktorzerlegung von quadratischen Termen:

Wenn die quadratische Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^2 + px + q = 0 \end{eqnarray*}$

die Lösungen $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ hat, dann kann der quadratische Term x² + px + q als Produkt von Linearfaktoren geschrieben werden:

$\begin{eqnarray*} x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2) \end{eqnarray*}$

Also Du hättest auch probieren können, ob

$\begin{eqnarray*} (x + 4) = (x - (-4)) \end{eqnarray*}$

nicht ein Linearfaktor des Terms ist, d. h. ob -4 eine Lösung der Gleichung

$\begin{eqnarray*} a^2 + 7a + 12 = 0 \end{eqnarray*}$

ist. Das ist der Fall! Also musst Du nur noch die zweite Lösung ermitteln und kommst ebenfalls auf die Zerlegung:

$\begin{eqnarray*} a^2 + 7a + 12 = (a -(-3))(a -(-4)) = (a + 3)(a+4) \end{eqnarray*}$

Ob es einen einfacheren Weg gibt ("gleichwertige Klammern" ?), weiß ich nicht. Ich kenne nur diese beiden.

11.08.2008, 19:14

Bluntastic

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deine beiden lösungswege sind mir vollkommen fremd... bin mir nicht ganz sicher ob du weißt was ich mit "gleichwertigen klammern" meinte und versuchs dir mal eben anhand einer anderen aufgabe, die ich im übrigen ganz und gar problemlos bewältigen konnte, zu veranschaulichen

$\begin{eqnarray*} 3ax - 9a² = 6ab - bx + b² \end{eqnarray*}$ |+9a²; -6ab

$\begin{eqnarray*} 3ax - 6ab = 9a² - bx + b² \end{eqnarray*}$ |+bx; +6ab

$\begin{eqnarray*} 3ax + bx = 9a² + 6ab + b² \end{eqnarray*}$ |binomische formeln

$\begin{eqnarray*} x(3a + b) = (3a + b)² \end{eqnarray*}$ |klammern weg kürzen

$\begin{eqnarray*} x = 3a + b \end{eqnarray*}$

auf ähnlichem weg sollte die andere aufgabe auch lösbar sein... sollte :/
könnte ja noch eine andere aufgabe zum besten geben da rohe lösung eines terms mich verständnismäßig nicht wirklich weiter bringt. weißt schon - der weg ist das ziel Augenzwinkern

werd mir aber, nichts desto weniger, deine lösungswege mal zu gemüte führen. hören sich interessant an und sind sicher nicht verkehrt mal drüber nach gedacht zu haben

11.08.2008, 19:42

Jacques

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Ach so. Also direkt kann man diese Methode hier nicht anwenden, Du müsstest erst auf beiden Seiten 16 addieren.

// edit: Stimmt gar nicht. Dann weiß ich auch keinen Ansatz.

11.08.2008, 20:01

Bluntastic

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ich glaub was mich daran so fertig macht ist die ungrade zahl. im grunde nichts besonderes doch verwirrt sie mich dermaßen das ich zu keinem ergebnis komm... hab da eben noch eine gefunden die ähnlich aufgestellt und genauso unlösbar scheint. zumindest auf dem von der lehrerin vorgegebenem weg... bin trotzdem weiter am ball ^^

wundert mich aber doch ein wenig das niemand über "meinen weg" zu ner lösung kommt :/ würd mich echt über ne gute erklärung freuen!

11.08.2008, 20:11

Jacques

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Kannst Du vielleicht nochmal die andere Aufgabe posten? Vielleicht ist die jetzige nur wegen eines Tippfehlers oder so mit der Klammermethode unlösbar.

11.08.2008, 20:18

Bluntastic

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nur inerhalb von 15min editierbar? Freude

klar! gerne:

$\begin{eqnarray*} ax - 5a = a² - 3x + 6 \end{eqnarray*}$

hier bin ich auf x=4a+6 gekommen. dafür das ichs mal fix im kopf gerechnet hab hört es sich ganz sämig an, glaub aber ich lieg falsch :/ mangelt einfach noch zu arg..

11.08.2008, 22:49

Jacques

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Hm, also da gibt es das gleiche Problem. Um es auf den Punkt zu bringen: Das einfache "Klammerverfahren", wie Du es beschreibst, funktioniert in diesen Fällen nicht mehr. Denn

$\begin{eqnarray*} a^2 + 5a + 6 \end{eqnarray*}$

ist nun mal keine Potenz von (a + 3), und man kommt auch nicht über z. B. die dritte binomische Formel auf eine Zerlegung mit dem Faktor (a + 3).

Also m. E. muss man wirklich eine der beschriebenen Methoden anwenden und erhält dann:

$\begin{eqnarray*} a^2 + 5x + 6 = (a + 3)(a + 2 ) \end{eqnarray*}$

12.08.2008, 03:12

Zellerli

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Ich würde auch eine der von Jaques beschriebenen Methoden anwenden.

Aber falls du mit Gewalt am Anfang zwei gleiche Binome erzeugen willst und dir die binomischen Formeln gefallen, hilft die quadratische Ergänzung:

Hier mal seeehr ausführlich:

$\begin{eqnarray*} ax+4x=a²+7a+12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ax+4x=a²+7a+12 + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ax+4x=\left(a²+7a+12 + \frac{1}{4} \right)- \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ax+4x=\left(a²+2 \cdot \frac{7}{2} \cdot a+ \frac{49}{4} \right)- \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ 1. Binomische Formel
$\begin{eqnarray*} ax+4x=\left(a + \frac{7}{2}\right)^2- \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ax+4x=\left(a + \frac{7}{2}\right)^2- \left(\frac{1}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$ 3. Binomische Formel
$\begin{eqnarray*} ax+4x=\left( \left(a + \frac{7}{2} \right) + \frac{1}{2} \right) \left( \left(a + \frac{7}{2}\right) - \frac{1}{2} \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ax+4x=\left( a + \frac{7}{2} + \frac{1}{2} \right) \left( a + \frac{7}{2} - \frac{1}{2} \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ax+4x= \left(a + \frac{8}{2} \right) \left(a + \frac{6}{2}\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ax+4x= \left(a + 4\right) \left(a + 3\right) \end{eqnarray*}$

Da wärst du mit einer der anderen Methoden aber besser gefahren Augenzwinkern

Also solltest du die wohl mal üben. Ist auch nicht schwer und lohnt sich.

Zitat:

bin grad in die oberstufe eingestiegen (berufsoberschule), da dacht ich mir hier sei ich richtig aufgehoben.

Im Matheboard bist du sicherlich richtig aufgehoben. Freude

Aber eine Hochschule ist was anderes. Eine Uni oder FH ist eine Hochschule. Eine BOS, FOS oder ein Gymnasium ist eine weiterführende Schule, wenn auch mit der Besonderheit, dass deren Abschlüsse (teilweise beschränkt) zum Hochschulstudium qualifizieren.

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