Differenzialrechnung

11.08.2008, 20:19

Liisa

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Differenzialrechnung

Hallo Ihr, ich hab da ein Problem wär schon wenn ihr mir helfen könntet und zwar gehts um folgende Aufgabe.

Gegeben sind die Funktion f(x)=x² und der Punkt T(1/-3). Der Punkt
P ( u / f(u) ) mit u [Element] R liegt auf der Parabel.

a)Stelle die Gleichung der Tangente in P auf.
b)Bestimme u so, dass die Tangente durch T geht. Wie lautet mit diesem Wert von u die Gleichung der Tangente, wie die Koordinaten von P?

Ich glaube a) habe ich soweit aber bei b) weiß ich echt nicht weiter. unglücklich

unglücklich

Vielen Dank schonmal im Vorraus Gott

Gott

11.08.2008, 20:24

tigerbine

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RE: Differenzialrechnung
Dann zeig doch einmal deine Lösung für a. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nur mal eine Skizze. Das muss nicht die gesuchte Gerade sein.

11.08.2008, 20:38

Liisa

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RE: Differenzialrechnung
kann auch sein, dass ich komplett daneben liege...

f(u)=2ux+b für a)?

Ich weiß aber nicht wie ich damit in b) umgehen soll.

Eigentlich hab ich ja auch die b) raus aber nur die Hilfe eines Programmes(siehe Bild). Den Lösungsweg kenne ich nicht... unglücklich

unglücklich

http://img258.imageshack.us/img258/970/fsdfsaadfggt2.jpg

11.08.2008, 20:51

tigerbine

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RE: Differenzialrechnung
Erstmal, P liegt auf der Parabel. Eine Tangente hat dann die gleiche Steigung wie die Parabel in diesem Punkt.

$\begin{eqnarray*} t_p(x) = f'(x_p) \cdot (x-x_p) + f(x_p) \end{eqnarray*}$

Damit ist dann a) auch schon fertig. Nun soll die eben durch (1/-3) gehen. Es gilt:

$\begin{eqnarray*} f'(x_p) = 2x_p \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x_p) = x_p^2 \end{eqnarray*}$

Macht als Aufgabe

$\begin{eqnarray*} -3 = 2x_p \cdot (1-x_p) + x_p^2 \end{eqnarray*}$

Löse nun eben die quadratische Gleichung.

11.08.2008, 21:11

Liisa

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RE: Differenzialrechnung

Zitat:

Original von tigerbine
Erstmal, P liegt auf der Parabel. Eine Tangente hat dann die gleiche Steigung wie die Parabel in diesem Punkt.

O das Verstehe ich noch, aber kannst du mir bitte erklären weshalb dein x bzw b

$\begin{eqnarray*} (x-x_p) + f(x_p) \end{eqnarray*}$ ist?

11.08.2008, 21:13

tigerbine

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RE: Differenzialrechnung
Setzt doch mal x_p ein Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dass ist die http://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel für n=1.

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11.08.2008, 21:30

Liisa

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RE: Differenzialrechnung
geschockt

geschockt

Ohje^^, damit überforderst du mich aber Gnadenlos.

Das ist 12 Klasse Mathe Lk. Ich glaube nicht dass das Benutzen dieser Formel vorraussgesetz werden kann, wenn diese vorher nicht eingeführt wurde?

Naja dann muss ich mich wohl mit diesen Teillösungen zufrieden geben Forum Kloppe

Forum Kloppe

11.08.2008, 21:39

tigerbine

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RE: Differenzialrechnung
Du siehst das falsch. Lerne diese Formel und mach dir das leben leichter. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du kannst alternativ auch mit Steigungsdreieck arbeiten und dann y-Abschnitt bestimmen.

11.08.2008, 21:52

Liisa

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RE: Differenzialrechnung
Ok, ich glaube ich resigniere hier.

Wär es vlt möglich mit dir in Kontakt zu treten? Vielleicht ICQ oder so? Oder bist du mit der Preisgabe deiner ICQ Nummer sehr Behutsam wenns um das Forum geht?

Mir würde das nämlich helfen glaube ich... aber ich kanns auch Verstehen wenn du was nich willst smile

smile

11.08.2008, 21:54

tigerbine

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RE: Differenzialrechnung
Ich bin doch hier on, dauert vielleicht ein bisserl länger, aber icq mache ich nicht.

wo hängt es denn jetzt? Warum klappt auch die alternative nicht?

11.08.2008, 22:04

Liisa

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RE: Differenzialrechnung
Weil ich nicht genau verstehe, was ich mit dem Steigungsdreieck anfangen soll, schließlich haben wir ja für die Steigung schon $\begin{eqnarray*} f'(x_p) \end{eqnarray*}$ oder nicht?

11.08.2008, 22:17

tigerbine

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RE: Differenzialrechnung
Ok, ich schreibe es dann nochmal anders auf. Sicher kannst du auch die Ableitung nehmen. Nur musst du eben, willst du nicht Taylor nehmen, dir den y-Abschnitt erst noch herleiten.

$\begin{eqnarray*} t_p(x) = f'(x_p) \cdot x + t \end{eqnarray*}$

Nun weißt du, dass die Tangente durch $\begin{eqnarray*} (x_p/f(x_p)) \end{eqnarray*}$ geht, also ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} f(x_p) = f'(x_p) \cdot x_p + t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t = f(x_p) - f'(x_p) \cdot x_p \end{eqnarray*}$

Also sind wir wieder bei:

$\begin{eqnarray*} t_p(x) = f'(x_p) \cdot (x-x_p) + f(x_p) \end{eqnarray*}$

11.08.2008, 22:31

Liisa

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RE: Differenzialrechnung
Entschuldige bitte mein Deverstännis,

aber mir erschließt sich der letzte Schritt von

$\begin{eqnarray*} t = f(x_p) - f'(x_p) \cdot x_p \end{eqnarray*}$

zu

$\begin{eqnarray*} t_p(x) = f'(x_p) \cdot (x-x_p) + f(x_p) \end{eqnarray*}$

noch nicht so wirklich.

Muss wohl an der Uhrzeit liegen. verwirrt

verwirrt

11.08.2008, 22:36

tigerbine

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RE: Differenzialrechnung
$\begin{eqnarray*} t_p(x) = f'(x_p) \cdot x + t \end{eqnarray*}$

liefert mit

$\begin{eqnarray*} t = f(x_p) - f'(x_p) \cdot x_p \end{eqnarray*}$

eben

$\begin{eqnarray*} t_p(x) = f'(x_p) \cdot x - f'(x_p) \cdot x_p + f(x_p) \end{eqnarray*}$

Nun nur noch ausklammern.

11.08.2008, 22:57

Liisa

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RE: Differenzialrechnung
Danke, jetzt setze ich in $\begin{eqnarray*} t_p(x) = f'(x_p) \cdot (x-x_p) + f(x_p) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x_p) = 2x_p \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x_p) = x_p^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_p(x) = -3 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} x = 1 \end{eqnarray*}$

ein und erhalte dann wie du schon geschrieben hast

$\begin{eqnarray*} -3 = 2x_p \cdot (1-x_p) + x_p^2 \end{eqnarray*}$

was dann $\begin{eqnarray*} x_(1/2)=-1,3 \end{eqnarray*}$ ergibt.

11.08.2008, 23:05

tigerbine

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RE: Differenzialrechnung
ok, also merk dir mal den Taylor. Du weißt ja nun ,wie du ihn dir herleiten kannst. Gehen wir also weiter und setzten konkrete Werte ein.

$\begin{eqnarray*} -3 = 2x_p \cdot (1-x_p) + x_p^2 \end{eqnarray*}$

Umgestellt:

$\begin{eqnarray*} 0= -x_p^2 +2x_p+3 \end{eqnarray*}$

Mit den Lösungen:

$\begin{eqnarray*} x_1=-1,~x_2 = 3 \end{eqnarray*}$

Die Tangengleichungen lauten dann also (beachte, ich lege sie durch (1/-3) mit der entsprechenden Steigung.

$\begin{eqnarray*} t_1=-2\cdot (x-1) -3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_1=6\cdot (x-1) -3 \end{eqnarray*}$

Damit hatte ich vorhin mehr Glück als Verstand. War nur "approximiert"

11.08.2008, 23:22

Liisa

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RE: Differenzialrechnung
geschockt

geschockt

Juhu

smile

ich glaube ich habe es Verstanden. Was jetzt aber genau die Taylor Formel war weiß ich nicht. Wikipedia hilft mir da auch nich weiter.

Ich danke dir vielmals. Gott

Gott

Eine Frage hätte ich noch:

Hast du Mathematik studiert?

11.08.2008, 23:27

tigerbine

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RE: Differenzialrechnung
Hinter der Taylor-Formel steckt ja noch viel mehr. Im Allgemeinen wollen wir damit Funktionen durch Polynome annähern. Das wird mal besser, mal schlechter gelingen, muss dich jetzt aber nicht kümmern. Manchmal nennt man diese erste Formel wohl auch Newton-Formel. Denn strenggenommen ist unsere Tangente an die Parabel ja eine grobe Annäherung an diese Funktion. Einen Punkt haben die beiden immerhin schon gemeinsam und was ist schon "perfekt" im Leben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Entscheidend ist an dieser Darstellung nur, dass man mit dem Wissen "Geht durch den Punkt" + "mit der Steigung" sofort die Geradengleichung hinschreiben kann. In der klassischen Variante

$\begin{eqnarray*} y=mx+t \end{eqnarray*}$

Musste das t eben immer erst noch durch einsetzen des Punktes berechnet werden.

Viel Erfolg weiterhin und vielleicht hast du ja auch Lust dich hier zu registrieren. Wink

Wink

11.08.2008, 23:34

Liisa

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Ja das werd ich machen Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Vielen Dank nochmal.

Jetzt kann ich beruhigt schlafen gehen. Freude

Freude

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