Irrational,Reihen,rational

12.05.2006, 17:37

zeusosc

Irrational,Reihen,rational

Hi, ist jede Irrationale Zahl z.B. $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ durch eine Reihe von rationalen Elementen darstellbar ?? Ein paar beispiele kenn ich ja, zb lässt sich $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ durch eine potenzreihe der Form $\begin{eqnarray*} \sum^{\infty}_{n=0}\frac{1}{n!}x^{n}\text{\ für }x\in R \end{eqnarray*}$
darstellen. (ok... hier ist $\begin{eqnarray*} x\in R \end{eqnarray*}$ , vielleicht n doofes beispiel ihr wisst aber was gemeint ist...hoffe ich..)
Nochmal die Frage:
Ist JEDE irrationale Zahl als eine Reihe von rationalen (Q) darstellbar????
Bildlich stelle ich mir vor: da jede beliebige welle á la fourier in harmonische durch wechsel des raumes zerlegt werden kann, diese sind auch abzählbar, und durch das bogenmaß eindeutig bestimmt, selbst wenn diese winkelgeschwindigkeiten von $\begin{eqnarray*} \omega\in R - Q \end{eqnarray*}$ haben können diese ja weiter gesplittet werden in rationale winkelgeschwindigkeiten und/oder frequenzen.... wisst ihr was ich meine ??? Hammer

Ich hätte gern mit Euch Sätze zusamm diskutiert die das be- oder wiederlegen. thx da zeuso

12.05.2006, 18:17

quarague

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ich bin mir nicht ganz sicher ob ich dich richtig verstanden habe, aber
man kann jede reelle Zahl als Grenzwert einer Folge von rationalen Zahlen darstellen, das ist äquivalent zu der Aussage das IQ in IR dicht liegt. Als Beispiel die Zahl e. Die Folge
$\begin{eqnarray*} a_n:=(1+\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$
hat nur rationale Elemente, aber der Grenzwert für n gegen unendlich ist e. So eine Reihe existiert für jede reelle Zahl.

12.05.2006, 18:30

zeusosc

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Und welche art der Reihen entwicklung muss ich nehmen um aus einer beliebigen irrationalen zahl eine Reihe von rationalen zu basteln die dessen grenzwert ist, äh also:
$\begin{eqnarray*} lim_{bla\rightarrow\infty}\left(a_{bla_{\ bla \in N}}\in Q\right)=a\in R \end{eqnarray*}$
??? also potenzreihen haben ja auch elemente aus R, das will ich vermeiden....
Ich glaube net da Taylor angemessen währ,.... thx

12.05.2006, 18:39

Mathespezialschüler

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Verschoben

Wie schon gesagt wurde, lässt sich jede irrationale Zahl als Grenzwert einer Folge rationaler Zahlen darstellen. Andererseits kann man aber auch jede Folge als Reihe schreiben, womit die Frage geklärt sein dürfte.

Gruß MSS

12.05.2006, 18:51

zeusosc

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Verschoben

Wie schon gesagt wurde, lässt sich jede irrationale Zahl als Grenzwert einer Folge rationaler Zahlen darstellen. Andererseits kann man aber auch jede Folge als Reihe schreiben, womit die Frage geklärt sein dürfte.

Gruß MSS

Zitat:

Original von mir
Ich hätte gern mit Euch Sätze zusamm diskutiert die das be- oder wiederlegen

D.h. ich hätte gern nicht nur eine blabla aussage, sondern einen Satz mit Beweis der das belegt. ausserdem gehört das in die thematik der Körper axiome somit auch wieder zurück in die Algebra....

12.05.2006, 19:07

Mathespezialschüler

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Um es ganz einfach zu sagen: Jede reelle Zahl lässt sich als Reihe rationaler Zahlen darstellen, und zwar braucht man dafür nur die Dezimalbruchentwicklung als Reihe zu schreiben.

Zitat:

Original von zeusosc
ausserdem gehört das in die thematik der Körper axiome somit auch wieder zurück in die Algebra....

Körperaxiome haben nichts mit Konvergenz zu tun. Hier geht es eindeutig um Konvergenz von Folgen und Reihen und das ist Analysis.

Gruß MSS

12.05.2006, 19:29

Crotaphytus

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@MSS: Hm... Die Antwort wär mir auch schon gekommen. Das ist irgendwie die trivialste Idee an sich. Nur ich denk mal, das ist nicht ganz die Art von Reihe, die er sich vorgestellt hat. Er wünscht sich vermutlich ne Reihe, bei der man die einzelnen Glieder explizit angeben kann.

12.05.2006, 19:43

zeusosc

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Satz:
$\begin{eqnarray*} \forall a\in R-Q \exists a_{n_{\ n\in N}} \in Q: lim_{n\rightarrow\infty}\left(\text{Folge,Reihe}\right)=a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vee\text{ Alle \textit{irrationalen} Elemente lassen sich als grenzwert einer Reihe rationaler Elemente darstellen} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{gesucht: \textbf{Beweis:}} \end{eqnarray*}$
sowas in der Art..... thx

12.05.2006, 19:52

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Zitat:

Original von Crotaphytus
Er wünscht sich vermutlich ne Reihe, bei der man die einzelnen Glieder explizit angeben kann.

Kann man doch: Als Folge $\begin{eqnarray*} s_n=10^{-n}\cdot \left\lfloor 10^n\cdot a \right\rfloor \end{eqnarray*}$ , und wenn's denn unbedingt eine Reihe sein soll: $\begin{eqnarray*} a_0=s_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_n=s_n-s_{n-1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

EDIT: Hatte natürlich noch was vergessen... smile

12.05.2006, 19:57

zeusosc

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das gauss'sche unterbums hab ich schon mal gesehen, kann aber noch nix damit anfangen, $\begin{eqnarray*} \lfloor \end{eqnarray*}$ ????

12.05.2006, 20:07

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Gaußklammer bitte, kein "Unterbums". Augenzwinkern

13.05.2006, 19:44

zeusosc

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$\begin{eqnarray*} \text{cooool, für }1,\overline{3}\text{ klappt das schon mal supi so das man ja:} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum_{n}a_{n}=a\Leftrightarrow \sum_{n}\left(s_{n}-s_{n-1}\right)=a\text{ sagen kann..} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{ jetzt muss nur noch der Beweiss für \textbf{alle} irrationale Zahlen geführt werden... thx erstmal...} \end{eqnarray*}$

14.05.2006, 17:45

zeusosc

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hat einer von euch den schon eine idee wie man dies für alle irrationale zahlen beweist....???

14.05.2006, 17:54

quarague

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Aussage: jede reelle Zahl lässt sich beliebig gut durch rationale Zahlen annähern
beweis durch Widerspruch.
Angenommen es gibt eine Zahl r für die das nicht gilt. Dann gibt es eine größte rationale Zahl p mit p < r und eine kleinste rationale Zahl q mit q>r
insbesondere gilt auch p < q
nun ist aber
$\begin{eqnarray*} p < \frac{p+q}{2} < q \end{eqnarray*}$ das heisst die Zahl p+q/2 liegt zwischen p und q und ist auch rational.
2 Fälle
p+q/2 < r dann Widerspruch zur Wahl von p
p+q/2 > r dann Widerspruch zur Wahl von q

wenn du magst, kannst du jetzt noch zeigen, das meine Aussage äquivalent zur ursprünglichen ist, indem du eine Folge konstruierst die gegeb r konvergiert.

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