(Geometrische) Reihen/Folgen

12.08.2008, 02:13

Q-fLaDeN

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(Geometrische) Reihen/Folgen

Hi Leute, ich bin in meinem Buch gerade beim Thema (geometrische, arithmemtisch...) Folgen angelangt.

Hab ich erstmal richtig verstanden, dass der Unterschied zwischen einer Folge und einer Reihe folgender ist:

Folge: z. B. $\begin{eqnarray*} a_n = a_1; a_2; a_3;...; a_n \end{eqnarray*}$ (also eigentlich nichts weiter als eine Menge von Elementen/Zahlen)
Aus dieser (bzw. aus jeder) Folge kann man eine Reihe machen indem man die Glieder addiert, d. h. $\begin{eqnarray*} s_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n = \sum\limits_{k=1}^{n} a_k \end{eqnarray*}$

Demzufolge ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} a_k \end{eqnarray*}$ auch eine Reihe? Ich hoffe bis dahin ist das erstmal richtig.

Ist eine "Partialsumme" einfach nur ein Glied einer Folge? Wenn ja, woher kommt der Name?

Ok, nun zu meinem eigentlichen Problem:
(Übungsaufgaben aus meinem Buch)

Aufgabe:
Bestimmen Sie jeweils die Summe der unendlichen geometrischen Reihen:

a) $\begin{eqnarray*} s = \sum\limits_{k=1}^{\infty}~7 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^{k-1} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} s = \sum\limits_{k=1}^{\infty}~(-5) \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^{k-1} \end{eqnarray*}$

Ich hab eigentlich absolut keine Ahnung wie das gehen soll bzw. ich versteh gar nicht so recht was ich machen soll.

Noch eine Frage:
Wie kommt man von einer Summendarstellung auf eine Darstellung ohne Summe? Also z. B. :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n}~k = \frac{n \cdot (n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Danke schonmal Wink

Wink

12.08.2008, 02:35

tigerbine

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RE: (Geometrische) Reihen/Folgen
Folge

http://de.wikipedia.org/wiki/Folge_(Mathematik)

Somit ist dein Gleichsetzen $\begin{eqnarray*} a_n= ... \end{eqnarray*}$ schon einmal falsch. Folgen können auf die unterschiedlichsten Arten definiert sein, z.B. durch durch einen Startwert und eine Rekusionsvorschrift. Als entscheidend würde ich nun aber erstmal die

http://de.wikipedia.org/wiki/Folge_(Mathematik)#Formale_Definition

ansehen.

Reihe

Um den Begriff Partialsumme zu verstehen musst du dich z.B. fragen, was ist denn das letzte Folgenglied? Nehmen wir z.B. IN als Indexmenge, so gibt es dieses vielleicht gar nciht (wenn die Folge z.B. alternierd, oder immer "weiter wächst").

http://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_(Mathematik)

Bei der n-ten Partialsumme werden eben die ersten (n+1) Folgenglieder aufsummiert (Index ging bei wiki bei 0 los)

In deiner ersten Aufgabe sollst du den Grenzwert der Folge der Partialsummen bestimmen (wenn er denn existiert). Denn steht oben nicht "unendlich", kannst du den Wert ja noch "leicht" berechnen.

Um so eine geschlossene Darstellung zu finden, bedarf es wohl auch etwas Glück. Ist eine Vermutung gegeben, so wird man sie z.B. mit Vollständiger Induktion versuchen zu beweisen.

12.08.2008, 15:05

Zizou66

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Zitat:

Noch eine Frage: Wie kommt man von einer Summendarstellung auf eine Darstellung ohne Summe? Also z. B. : $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n}~k = \frac{n \cdot (n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Tigerbine hat die Frage ja eigentlich schon beantwortet. Hinzufügend möchte ich allerdings sagen, dass man diese Formeln auch finden kann, wenn man einfach mit den ersten paar Reihenelementen rumspielt und sie versucht in so eine Formel zu packen, wenn sie passt einfach für den nächsten Schritt ausprobieren, passt, kannst du langsam an den Beweis denken, passt nicht, kannst du die Formel etwas anpassen, so dass sie für die vorhergehenden und das aktuelle Element passt, von da an gehts dann natürlich analog weiter. So hab ich selbst mal irgendne Idee für ne Formel gehabt, aber heute schäme ich mich dafür eher Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.08.2008, 16:49

Q-fLaDeN

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RE: (Geometrische) Reihen/Folgen

Zitat:

Original von tigerbine
Folge

http://de.wikipedia.org/wiki/Folge_(Mathematik)

Somit ist dein Gleichsetzen $\begin{eqnarray*} a_n= ... \end{eqnarray*}$ schon einmal falsch. Folgen können auf die unterschiedlichsten Arten definiert sein, z.B. durch durch einen Startwert und eine Rekusionsvorschrift. Als entscheidend würde ich nun aber erstmal die

http://de.wikipedia.org/wiki/Folge_(Mathematik)#Formale_Definition

ansehen.

Ok ich denke bis dahin verstehe ich. Die Links von Wikipedia nützen mir aber meistens nichts. Ich hab dort selbst auch schon nachgesehen, aber da tauchen dann wiederrum andere Begriffe auf, die ich erst nachschlagen muss und komm so immer leicht durcheinander. Wiki hilft mir in Mathematik nur in den wenigsten Fällen bzw. nur grob.

Zitat:

Original von tigerbine
Reihe

Um den Begriff Partialsumme zu verstehen musst du dich z.B. fragen, was ist denn das letzte Folgenglied? Nehmen wir z.B. IN als Indexmenge, so gibt es dieses vielleicht gar nciht (wenn die Folge z.B. alternierd, oder immer "weiter wächst").

http://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_(Mathematik)

Bei der n-ten Partialsumme werden eben die ersten (n+1) Folgenglieder aufsummiert (Index ging bei wiki bei 0 los)

Das verstehe ich jetzt nicht. Warum muss man sich Fragen was das letzte Folgenglied ist? Warum soll es das letzte Folgenglied nicht geben bzw. das letzte Folgenglied kann man doch eigentlich sowieso nicht angeben? (vllt. $\begin{eqnarray*} a_{n+k} \qquad k \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ sonst fällt mir auch nichts ein.)

Ist z. B. die 5-te Partialsumme der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \end{eqnarray*}$ jetzt $\begin{eqnarray*} 1+2+3+4+5 = 15 \end{eqnarray*}$ oder einfach nur 5 oder keins von den beiden?

Also was genau eine Partialsumme ist, weiss ich immer noch nicht.
Nach diesem Satz "In der Mathematik ist eine (unendliche) Reihe eine Folge, deren Glieder (Partialsummen) als Summen der ersten n Glieder einer anderen Folge gegeben sind." (Aus Wiki) sind Partialsummen doch bestimmte aufsummierte Glieder einer Reihe (also wäre oben 15 richtig) oder verstehe ich das falsch? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von tigerbine
In deiner ersten Aufgabe sollst du den Grenzwert der Folge der Partialsummen bestimmen (wenn er denn existiert). Denn steht oben nicht "unendlich", kannst du den Wert ja noch "leicht" berechnen.

Warum den Grenzwert der Folge? Ich dachte das ist eine Reihe? Oder meinst du, dass ich das bestimmen soll:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty}~7 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^{k-1} \end{eqnarray*}$

?

Zitat:

Original von tigerbine
Um so eine geschlossene Darstellung zu finden, bedarf es wohl auch etwas Glück. Ist eine Vermutung gegeben, so wird man sie z.B. mit Vollständiger Induktion versuchen zu beweisen.

Ok danke, auch an Zizou.

12.08.2008, 16:59

Jacques

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RE: (Geometrische) Reihen/Folgen

Zitat:

Original von Q-fLaDeN

Das verstehe ich jetzt nicht. Warum muss man sich Fragen was das letzte Folgenglied ist? Warum soll es das letzte Folgenglied nicht geben bzw. das letzte Folgenglied kann man doch eigentlich sowieso nicht angeben? (vllt. $\begin{eqnarray*} a_{n+k} \qquad k \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ sonst fällt mir auch nichts ein.)

Ist z. B. die 5-te Partialsumme der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \end{eqnarray*}$ jetzt $\begin{eqnarray*} 1+2+3+4+5 = 15 \end{eqnarray*}$ oder einfach nur 5 oder keins von den beiden?

Also was genau eine Partialsumme ist, weiss ich immer noch nicht.
Nach diesem Satz "In der Mathematik ist eine (unendliche) Reihe eine Folge, deren Glieder (Partialsummen) als Summen der ersten n Glieder einer anderen Folge gegeben sind." (Aus Wiki) sind Partialsummen doch bestimmte aufsummierte Glieder einer Reihe (also wäre oben 15 richtig) oder verstehe ich das falsch? verwirrt

verwirrt

Also grob gesprochen ist eine Reihe die Summe über einer unendlichen Folge. Also eine "unendliche Summe".

Bei der exakten Definition benutzt man die Partialsummen: Die Summe bis zum ersten Glied heißt erste Partialsumme, die bis zum zweiten Glied zweite Partialsumme u. s. w.

Eine Reihe wird dann definiert als die Folge der Partialsummen. Den Wert der Reihe definiert man als den Grenzwert der Partialsummenfolge.

z. B.:

Die Partialsummen der Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i} \end{eqnarray*}$

lauten:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{1} \frac{1}{i} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{2} \frac{1}{i} = 1 + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{3} \frac{1}{i} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

...

Zitat:

Original von Q-fLaDeN

Zitat:

Original von tigerbine
In deiner ersten Aufgabe sollst du den Grenzwert der Folge der Partialsummen bestimmen (wenn er denn existiert). Denn steht oben nicht "unendlich", kannst du den Wert ja noch "leicht" berechnen.

Warum den Grenzwert der Folge? Ich dachte das ist eine Reihe? Oder meinst du, dass ich das bestimmen soll:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty}~7 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^{k-1} \end{eqnarray*}$

?

Siehe oben: Der Grenzwert der partialsummenfolge ist zu bestimmen.

12.08.2008, 17:07

tigerbine

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Dich mit den Fachbegriffen auseinander zu setzten kann ich dir nicht abnehmen. Nicht ohne Grund kommen Folgen und Reihen nicht in der ersten Vorlesungsstunde der Analysis dran. Da musst du eben durch.

Zu der Patrialsumme. Wir haben i.A. bei einer Folge ja eine von oben unbeschränkte Indexmenge, die natürlichen Zahlen. Wir kennen unser erstes Folgenglied $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ und können die anderen eben durchnummerieren. $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,a_3,... \end{eqnarray*}$ . Folgen notieren wir $\begin{eqnarray*} (a_k)_k \end{eqnarray*}$

Nun könnte man ja mal auf die Lustige Idee kommen, alle Folgenglieder addieren zu wollen. Das sind unendlich viele und wir noterieren dieses Vorhaben erstmal in der Form:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~a_k = a_0 + a_1 + a_2 + ... \end{eqnarray*}$ (*)

Nun wirft jemand ein, dass mit dem unendlich sei ihm zu schwer, und er will kleinere Brötchen backen. Er möchte nur erstmal die ersten n Folgenglieder aufsummieren.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}~a_k = a_1 + ... + a_n \end{eqnarray*}$

Das nennen wir die n-te Partialsumme. Notiert man sich für einige n nun die Werte der Partialsummen, so erhalten wir eine neue Folge:

$\begin{eqnarray*} (s_n)_n \end{eqnarray*}$

Ich setzte nun voraus, dass du dich schon mit der Konvergenz von folgen beschäftigt hast (oder das eben nachholst). Dann liegt bezüglich (*) die Frage nach, konvergiert die Folge der Partialsummen? Und wenn ja, wo gegen?

(*) nennt man dabei ein (unendliche) Reihe.

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12.08.2008, 17:12

Q-fLaDeN

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RE: (Geometrische) Reihen/Folgen

Zitat:

Original von Jacques

Zitat:

Original von Q-fLaDeN

Das verstehe ich jetzt nicht. Warum muss man sich Fragen was das letzte Folgenglied ist? Warum soll es das letzte Folgenglied nicht geben bzw. das letzte Folgenglied kann man doch eigentlich sowieso nicht angeben? (vllt. $\begin{eqnarray*} a_{n+k} \qquad k \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ sonst fällt mir auch nichts ein.)

Ist z. B. die 5-te Partialsumme der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \end{eqnarray*}$ jetzt $\begin{eqnarray*} 1+2+3+4+5 = 15 \end{eqnarray*}$ oder einfach nur 5 oder keins von den beiden?

Also was genau eine Partialsumme ist, weiss ich immer noch nicht.
Nach diesem Satz "In der Mathematik ist eine (unendliche) Reihe eine Folge, deren Glieder (Partialsummen) als Summen der ersten n Glieder einer anderen Folge gegeben sind." (Aus Wiki) sind Partialsummen doch bestimmte aufsummierte Glieder einer Reihe (also wäre oben 15 richtig) oder verstehe ich das falsch? verwirrt

verwirrt

Also grob gesprochen ist eine Reihe die Summe über einer unendlichen Folge. Also eine "unendliche Summe".

Bei der exakten Definition benutzt man die Partialsummen: Die Summe bis zum ersten Glied heißt erste Partialsumme, die bis zum zweiten Glied zweite Partialsumme u. s. w.

Eine Reihe wird dann definiert als die Folge der Partialsummen. Den Wert der Reihe definiert man als den Grenzwert der Partialsummenfolge.

Ok, aber warum muss diese Folge unendlich sein? Sie kann doch auch bis zum n-ten Glied gehen oder? Und der Begriff Partialsummenfolge bereitet mir noch Schwierigkeiten... ohne zu wissen, was das bedeutet, kann ich auch die Aufgabe(n) nicht lösen.

Somit wäre als meine 15 auch richtig? Big Laugh

Big Laugh

Danke für die Mühe.

12.08.2008, 17:16

tigerbine

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RE: (Geometrische) Reihen/Folgen
Was ist an der Partialsumme denn noch unklar? Wie oft soll sich noch schrieben, das bei der n-ten Partialsumme die ersten n-Folgenglieder summiert werden?

Dein Beispiel habe ich nicht kommentiert, weil du die Reihe nicht hingeschrieben hast.

Wenn deine Folge endlich ist (z.B. z -Gleider), so ist es auch die Reihe. Summierungen mit n<z Summanden sind dann wieder Partialsummen.

12.08.2008, 17:23

Jacques

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@ Q-fLaDeN

Natürlich kann man auch Summen über endlichen Folgen bilden. Nur sind das eben ganz gewöhnliche (=endliche) Summen, also nichts Besonderes. Den neuen Begriff der Reihe braucht man erst, wenn man die Summe über einer unendlichen Folge bilden möchte, denn "unendliche Summen" sind zunächst einmal nicht definiert.

Zur Partialsummenfolge nochmal:

Gegeben ist die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{\infty} a_i \end{eqnarray*}$

also die Summe über der Folge

$\begin{eqnarray*} \left(a_i \right)_{i \geq 1} = a_1, a_2, a_3, \ldots \end{eqnarray*}$

Die Partialsummenfolge der Reihe lautet:

$\begin{eqnarray*} \left( \sum_{i=1}^{n}a_i \right)_{n \geq 1} = \sum_{i=1}^{1}a_i, \sum_{i=1}^{2}a_i, \sum_{i=1}^{3}a_i, \ldots \end{eqnarray*}$

Oder in anderer Schreibweise:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{a_1}, \underbrace{a_1 + a_2}, \underbrace{a_1 + a_2 + a_3}, \ldots \end{eqnarray*}$

12.08.2008, 17:23

Q-fLaDeN

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@Tigerbine:
Ich hatte erstmal auf den Beitrag von Jacques geantwortet, da war deine noch nicht da. Erst als ich geantwortet hatte, hab ich deine Antwort gesehen.

Ich muss mir das mal kurz in Ruhe durchlesen, wenn ich soweit bin, meld ich mich wieder.

Und jetzt brauch ich noch mehr Zeit, weil ich wieder eine neue Antwort habe Big Laugh

Big Laugh

Danke euch beiden.

12.08.2008, 18:11

Q-fLaDeN

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Also ich denke ich hab das meiste verstanden.

Ich müsste also bei meiner Aufgabe zunächst die Partialsummenfolge bestimmen.

Diese wäre also bei $\begin{eqnarray*} s = \sum\limits_{k=1}^{\infty}~7 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^{k-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (s_k)_k: (7; 1,75; 12,6875;...) \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie kann das ja nicht passen...

12.08.2008, 18:21

AD

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Zumindest die letzte der drei Partialsummen ist falsch, die richtige lautet $\begin{eqnarray*} 5{,}6875 \end{eqnarray*}$ .

12.08.2008, 18:31

Q-fLaDeN

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Werde ich gleich nochmal durchrechnen. Aber ist die herangehensweise denn erstmal richtig? Wenn ja, wie mach ich weiter? Eine Bildungsvorschrift finden? Aber wie soll das hier gehen?

12.08.2008, 18:34

tigerbine

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Zunächst einmal ist die Schreibweise s= ... hier schon etwas "vermessen optimistisch", dazu muss die Reihe ja konvergieren.

Dazu gilt es erstmal zu klären, ob denn die notwendige Bedingung an die Folgenglieder (die da lautet .... ?) erfüllt ist.

12.08.2008, 18:48

Q-fLaDeN

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Warum ist das 3. Glied falsch?

$\begin{eqnarray*} (s_k)_k:~ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1 = 7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_2 = 7 + (-\frac{21}{4}) = 1,75 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_3 = 7+1,75 + (63/16) = 12,6875 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_4 = 7+1,75+12,6875 + (-189/64) = 18,484375 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (s_k)_k = 7;1,75;12,6875;18,484375;... \end{eqnarray*}$

Mit der Bedingung weiss ich jetzt auch nicht wirklich was du meinst.

12.08.2008, 18:54

AD

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So ein Käse! geschockt

geschockt

Wenn $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ die Folge der Reihenglieder, und $\begin{eqnarray*} (s_n) \end{eqnarray*}$ die Folge der Partialsummen ist, dann rechnest du

$\begin{eqnarray*} s_1 = a_1 \end{eqnarray*}$ richtig

$\begin{eqnarray*} s_2 = a_1 + a_2 \end{eqnarray*}$ auch noch richtig

$\begin{eqnarray*} s_3 = a_1 + s_2 + a_3 \end{eqnarray*}$ falsch, richtig ist $\begin{eqnarray*} a_1+a_2+a_3 \end{eqnarray*}$ oder äquivalent dazu $\begin{eqnarray*} s_2+a_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_4 = a_1 + s_2 + s_3 + a_4 \end{eqnarray*}$ auch falsch, richtig ist $\begin{eqnarray*} a_1+a_2+a_3+a_4 \end{eqnarray*}$ oder äquivalent dazu $\begin{eqnarray*} s_3+a_4 \end{eqnarray*}$

...

12.08.2008, 18:55

tigerbine

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Irgendwie alles ein wenig chaotisch. Wir haben da zunächst mal die Folge mit der Bezeichnung a:

$\begin{eqnarray*} a_1= 7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2 = 7 \cdot (-1)^1 \cdot (0.75)^1 = -5.25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_k = 7 \cdot (-1)^{k-1} \cdot (0.75)^{k-1} \end{eqnarray*}$

Für die muss etwas gelten, damit die Reihe überhaupt konvergieren kann. Das sollst du in dem Link über Reihen nachlesen. Nun notiert man sich die Partialsummen, aber mit der Variablen s:

$\begin{eqnarray*} s_1 = a_1 = 7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_2 = a_1 + a_2 = 7 - 5.25 = 1.75 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_n=a_1 + ... + a_n = ? \end{eqnarray*}$

13.08.2008, 19:09

Q-fLaDeN

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Also hab mich nochmal ein wenig durchgewühlt.

Also haben wir folgende Partialsummenfolge:

$\begin{eqnarray*} s_1 = a_1 = 7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_2 = a_1 + a_2 = 7 - 5{,}25 = 1.75 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_3 = a_1 + a_2 + a_3 = 7-5{,}25 +3{,}9375 = 5{,}6875 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n = \sum\limits_{k=1}^{n} a_k = \sum\limits_{k=1}^{n} 7 \cdot (-1)^{k-1} \cdot (0.75)^{k-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} 7 \cdot (-1)^{k-1} \cdot (0.75)^{k-1} = \text{n-te Partialsumme der Reihe} \sum\limits_{k=1}^{\infty}~7 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^{k-1} \end{eqnarray*}$

Zum Konvergenzkriterium kann ich wirklich nicht viel sagen verwirrt

verwirrt

Im Wiki Link über Reihen stehen Kriterien wie das Majoranten- oder Wurzelkriterium. Aber das muss man doch auch anders lösen können? Das einzige Konvergenzkriterium, das in meinem Buch angesprochen wird, ist:

$\begin{eqnarray*} |a_n - g| < \varepsilon \qquad g \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Aber das ist ja für Folgen und nicht für Reihen

13.08.2008, 19:20

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Konvergenzkriterien sind nur dafür da, dass man "voraussagen" kann, ob eine Reihe überhaupt konvergiert. Den Wert kennt man dadurch noch nicht.

M. E. sind die Kritiern außerdem zu komplex, als dass man sie gleich am Anfang machen würde.

Die übliche Vorgehensweise ist da wohl eher, dass man eine Formel sucht, mit der man den Summenausdruck der Partialsumme ersetzen kann -- und dann anschließend wie bei jeder Folge auch den Grenzwert berechnet.

Also z. B.:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i = 1}^{\infty}\frac{1}{(3i - 2)(3i + 1)} \end{eqnarray*}$

ist zu berechnen.

Dafür muss man den Grenzwert der zugehörigen Partialsummenfolge ermitteln, also

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{(3i - 2)(3i + 1)} \end{eqnarray*}$

Man sucht eine Formel, mit der man die Summe "explizit" angeben kann. Diese Formel lautet hier:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{(3i - 2)(3i + 1)} = \frac{n}{3n + 1} \end{eqnarray*}$

Und damit lässt sich dann der Grenzwert berechnen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{(3i - 2)(3i + 1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{3n + 1} \end{eqnarray*}$

13.08.2008, 19:21

kiste

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Ich verstehe dein Problem nicht. Das Stichwort hast du doch selbst schon im Titel geschrieben. geometrische Reihe. Einfach den Wiki-Artikel dazu lesen Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.08.2008, 19:51

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, ich glaub es hat *klick* gemacht.

Für mein Beispiel würde das also bedeuten:

Gegeben:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty}~7 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^{k-1} \end{eqnarray*}$

Partialsummenfolge dazu:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n}~7 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^{k-1} \end{eqnarray*}$

(Also hat mein $\begin{eqnarray*} s_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n = \sum\limits_{k=1}^{n} a_k = \sum\limits_{k=1}^{n} 7 \cdot (-1)^{k-1} \cdot (0.75)^{k-1} \end{eqnarray*}$ gepasst?)

Grenzwert der Partialsummenfolge:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~\sum\limits_{k=1}^{n}~7 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^{k-1} \end{eqnarray*}$

Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} s = \lim_{n \to \infty}~\sum\limits_{k=1}^{n}~7 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^{k-1} = \frac{a_1}{1-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{mit}~a_1 = 7~\text{und}~q = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{-5{,}25}{7} = -0,75 \quad \Rightarrow |q| < 1 \end{eqnarray*}$

folgt:

$\begin{eqnarray*} s = \frac{7}{1-(-0,75)} = 4 \end{eqnarray*}$

Falls $\begin{eqnarray*} |q| < 1 \end{eqnarray*}$ eine falsche Aussage wäre, dann könnte man sofort darauf schließen, dass die Reihe divergent wäre?

Alles richtig?

Stimmt somit eigentlich sofort folgende Gleichheit:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty}~7 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^{k-1} = \lim_{n \to \infty} \sum\limits_{k=1}^{n}~7 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^{k-1} \end{eqnarray*}$

?

Also ich würde sagen ja.

Und noch eine Frage:

Ist die Summe einer geometrischen Folge gleich dem Grenzwert der Folge der Partialsummen?

13.08.2008, 20:16

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Für mein Beispiel würde das also bedeuten:

Gegeben:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty}~7 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^{k-1} \end{eqnarray*}$

Partialsummenfolge dazu:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n}~7 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^{k-1} \end{eqnarray*}$

Die Partialsummenfolge musst Du natürlich auch in Folgenschreibweise angeben:

$\begin{eqnarray*} \left( \sum\limits_{k=1}^{n}~7 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^{k-1} \right)_{n \geq 1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Q-fLaDeN
(Also hat mein $\begin{eqnarray*} s_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n = \sum\limits_{k=1}^{n} a_k = \sum\limits_{k=1}^{n} 7 \cdot (-1)^{k-1} \cdot (0.75)^{k-1} \end{eqnarray*}$ gepasst?)

Ja, es gilt (natürlich)

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n}~7 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^{k-1} = \sum_{k=1}^{n}~7 \cdot (-1)^{k-1} \cdot (0.75)^{k-1} \end{eqnarray*}$

Aber darauf kommt man doch einfach durch Termumformung des allgemeinen Summanden. Wofür die ganzen Zwischenschritte?

Und was bringt die Umformung?

Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Grenzwert der Partialsummenfolge:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~\sum\limits_{k=1}^{n}~7 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^{k-1} \end{eqnarray*}$

Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} s = \lim_{n \to \infty}~\sum\limits_{k=1}^{n}~7 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^{k-1} = \frac{a_1}{1-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{mit}~a_1 = 7~\text{und}~q = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{-5{,}25}{7} = -0,75 \quad \Rightarrow |q| < 1 \end{eqnarray*}$

Das "q" ist doch schon in allgemeinen Summanden gegeben: -(3/4). Also die Rechnerei ist unnötig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und wenn Du sowieso schon die Formel für den Grenzwert kennst, kannst Du direkt schreiben:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty}~7 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^{k-1} = \frac{a_1}{1-q} \end{eqnarray*}$

Also Du brauchst nicht nochmal den Umweg über die Partialsummenfolge zu machen.

Zitat:

Original von Q-fLaDeN
folgt:

$\begin{eqnarray*} s = \frac{7}{1-(-0,75)} = 4 \end{eqnarray*}$

Falls $\begin{eqnarray*} |q| < 1 \end{eqnarray*}$ eine falsche Aussage wäre, dann könnte man sofort darauf schließen, dass die Reihe divergent wäre?

Alles richtig?

Ich sehe keinen Fehler. // edit: Ob |q| größer/gleich 1 zur Divergenz führt, weiß ich nicht.

Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Stimmt somit eigentlich sofort folgende Gleichheit:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty}~7 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^{k-1} = \lim_{n \to \infty} \sum\limits_{k=1}^{n}~7 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^{k-1} \end{eqnarray*}$

?

Also ich würde sagen ja.

Natürlich! Eine Reihe ist ja gerade definiert als der Grenzwert der zugehörigen partialsummenfolge. Also Du schreibt damit nur die Definition der Reihe auf.

Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Und noch eine Frage:

Ist die Summe einer geometrischen Folge gleich dem Grenzwert der Folge der Partialsummen?

Siehe oben. Hatten wir im Thread IMHO auch schon gesagt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.08.2008, 20:47

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von Jacques
Die Partialsummenfolge musst Du natürlich auch in Folgenschreibweise angeben:

$\begin{eqnarray*} \left( \sum\limits_{k=1}^{n}~7 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^{k-1} \right)_{n \geq 1} \end{eqnarray*}$

Stimmt. Aber dumme Frage nebenbei: Warum ist das jetzt eigentlich eine Partialsummenfolge, durch das Summenzeichen wird es doch eigentlich zu einer Reihe? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von Jacques

Zitat:

Original von Q-fLaDeN
(Also hat mein $\begin{eqnarray*} s_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n = \sum\limits_{k=1}^{n} a_k = \sum\limits_{k=1}^{n} 7 \cdot (-1)^{k-1} \cdot (0.75)^{k-1} \end{eqnarray*}$ gepasst?)

Ja, es gilt (natürlich)

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n}~7 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^{k-1} = \sum_{k=1}^{n}~7 \cdot (-1)^{k-1} \cdot (0.75)^{k-1} \end{eqnarray*}$

Aber darauf kommt man doch einfach durch Termumformung des allgemeinen Summanden. Wofür die ganzen Zwischenschritte?

Und was bringt die Umformung?

Ich hätte auch schreiben können ob folgendes stimmt:

$\begin{eqnarray*} s_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n = \sum\limits_{k=1}^{n} 7 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^{k-1} \end{eqnarray*}$
(Auf mein Beispiel bezogen)

Aber keine weitere Antwort benötigt, ich weiss bescheid Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Jacques
Das "q" ist doch schon in allgemeinen Summanden gegeben: -(3/4). Also die Rechnerei ist unnötig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und wenn Du sowieso schon die Formel für den Grenzwert kennst, kannst Du direkt schreiben:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty}~7 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^{k-1} = \frac{a_1}{1-q} \end{eqnarray*}$

Also Du brauchst nicht nochmal den Umweg über die Partialsummenfolge zu machen.

Ja stimmt, aber ich wollte das für mein 1. gerechnetes Beispiel ein wenig ausführlicher schreiben, damit ich es besser verstehe.

Ist die -(3/4) sofort mein q aufgrund der allgemeinen Form einer geometrischen Reihe (also $\begin{eqnarray*} a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \end{eqnarray*}$ )oder gibt es eine andere Begründung warum das sofort mein q ist?

Zitat:

Original von Jacques
Ich sehe keinen Fehler. // edit: Ob |q| größer/gleich 1 zur Divergenz führt, weiß ich nicht.

Ok diese Frage hab ich mir selbst beantwortet (bzw. mein Buch Big Laugh

Big Laugh

):
"Unendliche geometrische Folgen und Reihen sind für |q| > 1 divergent."
(Für q = 1 ergeben sich (denke ich) konstante Folgen, also keine geometrischen)

Zitat:

Original von Jacques
Natürlich! Eine Reihe ist ja gerade definiert als der Grenzwert der zugehörigen partialsummenfolge. Also Du schreibt damit nur die Definition der Reihe auf.

Alles klar.

Zitat:

Original von Jacques
Siehe oben. Hatten wir im Thread IMHO auch schon gesagt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Auch alles klar Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielen dank für die Mühe.

13.08.2008, 21:12

Jacques

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Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Stimmt. Aber dumme Frage nebenbei: Warum ist das jetzt eigentlich eine Partialsummenfolge, durch das Summenzeichen wird es doch eigentlich zu einer Reihe? verwirrt

verwirrt

Das verstehe ich nicht ganz. Das Summenzeichen kennzeichnet i. A. (hier auch) eine normale endliche Summe, keine Reihe. Eine Reihe ist nur dann gemeint, wenn anstelle einer oberen Summationsgrenze $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ steht.

Denke an die Definition:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i = m}^n a_i := a_m + a_{m + 1} + \ldots + a_n \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Q-fLaDeNIst die -(3/4) sofort mein q aufgrund der allgemeinen Form einer geometrischen Reihe (also $\begin{eqnarray*} a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \end{eqnarray*}$ )oder gibt es eine andere Begründung warum das sofort mein q ist?

Nein, das ist der einzige Grund. (wobei Du wahrscheinlich nicht "Reihe", sondern "allgemeiner Summand" meintest)

Geometrische Folgen haben eben das allgemeine Glied

$\begin{eqnarray*} a_1 \cdot q^{i - 1} \end{eqnarray*}$

wobei q das konstante Verhältnis zwischen zwei nebeneinander stehenden Folgengliedern ist. (und a1 das Anfangsglied der Folge)

Und damit haben geometrische Summen die Form

$\begin{eqnarray*} \sum_{i = 1}^n ~ a_1 \cdot q^{i - 1} \end{eqnarray*}$

(q ist natürlich wieder das Verhältnis)

Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Ok diese Frage hab ich mir selbst beantwortet (bzw. mein Buch Big Laugh

Big Laugh

):
"Unendliche geometrische Folgen und Reihen sind für |q| > 1 divergent."
(Für q = 1 ergeben sich (denke ich) konstante Folgen, also keine geometrischen)

Bei q = 1 ergibt sich tatsächlich eine konstante Folge. Und das ist kein Widerspruch zur Definition einer geometrischen Folge, denn das Verhältnis zweier aufeinander folgender Glieder ist ja konstant 1.

Nur gilt die Grenzwertformel eben in diesem Fall nicht.

13.08.2008, 21:17

AD

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@Q-fLaDeN

In deinem Kopf scheint ein ziemlicher Wirrwarr hinsichtlich der Definition einer Reihe zu herrschen. Vielleicht hilft dir das weiter:

Triviale Frage zu Reihendefinition

13.08.2008, 21:22

Q-fLaDeN

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Ok alle Fragen geklärt, danke euch allen.

@Arthur:
Ja, irgendwie schon Forum Kloppe

Forum Kloppe

Danke für den Link.

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