Tangentenbestimmung

12.05.2006, 18:15

gast01

Tangentenbestimmung

Hallo, ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter und hoffe das einer von euch ne idee hat..

Ich soll bei einer gegebenen funktion f(x)= x(lnx)² eine Tangente im Kurvenpunkt B(u/f(u)), die die y-Achse im Punkt P schneidet, so bestimmen, dass die Strecken BP und B0 (also B/Ursprung) gleich lang sind...

Hatte die Idee das mit einem Gleichschenkligen Dreieck zu probieren, aber es gibt ja ausser, dass das Dreieck bei (0/0) die Ecke B hätte keinen Anhaltspunkt und die höhe h muss sich mit der Funktion schneiden ..

Hatt jemand ne Idee wie ich das so oder anders ausrechnen könnte???

Grüße

12.05.2006, 20:04

gast01

Auf diesen Beitrag antworten »

hat da niemand eine idee?? :-(

12.05.2006, 20:05

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Tangentenbestimmung

Zitat:

Original von gast01
aber es gibt ja ausser, dass das Dreieck bei (0/0) die Ecke B hätte keinen Anhaltspunkt und die höhe h muss sich mit der Funktion schneiden ..

Also B hat doch die Koordinaten (u, f(u)) und nicht (0|0), oder wie hast du das gemeint? Wie dem auch sei, schreib mal die Tangentengleichung auf für die Tangente durch den Punkt (u, f(u)). Dann sehen wir weiter.

Noch was: welche y-Koordinate muß der Punkt P haben, damit die Strecken BP und Ursprung-B gleich sind?

Und den Push-Post will ich mal übersehen. Augenzwinkern

12.05.2006, 20:26

gast01

Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du das so?

$\begin{eqnarray*} t(x)=((lnu)^2+2lnu)x+c \end{eqnarray*}$

und zu deinem Nachtrag die Ordinate ist vom Wert gleich der Strecke (0/0) B(u/f(u))... aber was bringt mir das?

12.05.2006, 20:29

gast01

Auf diesen Beitrag antworten »

Vergiss den letzten Satz Hammer

13.05.2006, 10:22

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Tangengleichung ist ok, das c müßte aber noch konkretisiert werden. Es muß ja t(u) = f(u) sein.

Jetzt zum Problem, wo P liegt. Prinzipiell hat der die Koordinaten (0 | y_p). Dazu betrachten wir die Dreiecke (0|0), B, (0|f(u)) sowie (0|f(u)), B, P. Die gesuchten Streckenlängen kannst du in diesen Dreiecken leicht berechnen.

PS: wenn du dich registrierst, kann du deine Beiträge editieren. Augenzwinkern

13.05.2006, 12:32

gast01

Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Tangentengleichung:
Ich hab mir gedacht, dass der Punkt P ja die Koordinaten P(0/2f(u)) haben muss, da er ja doppelt so hoch liegen muss wie die Ordinate von B, also:

$\begin{eqnarray*} t(x)= ((lnu)^2 + 2lnu)x+ ( 2*u(lnu)^2) \end{eqnarray*}$

right?

und wie kann ich damit weiterrechnen ( zwei unbekannte)

Wie berechne ich denn nochmal Strecken? verwirrt

hab ich schon ewig nciht gemacht

Und mir ist noch aufgefallen, dass der gesuchte Punkt B (fast) identisch mit dem Wendepunkt ist...kann das Zufall sein ?? Oder ist das schon die Lösung?

13.05.2006, 13:59

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gast01
Zur Tangentengleichung:
Ich hab mir gedacht, dass der Punkt P ja die Koordinaten P(0/2f(u)) haben muss, da er ja doppelt so hoch liegen muss wie die Ordinate von B, also:

$\begin{eqnarray*} t(x)= ((lnu)^2 + 2lnu)x+ ( 2*u(lnu)^2) \end{eqnarray*}$

Im Prinzip stimmt das. Die Tangentengleichung ergibt sich aber primär aus der Tatsache, daß diese durch (u; f(u)) läuft, also daß t(u)=f(u) ist.

Zitat:

Original von gast01
Wie berechne ich denn nochmal Strecken? verwirrt

hab ich schon ewig nciht gemacht

Eine Möglichkeit wäre der Pythagoras. Das ist hier aber nicht erforderlich, da du ja schon weißt, wo P liegt.

Zitat:

Original von gast01
Und mir ist noch aufgefallen, dass der gesuchte Punkt B (fast) identisch mit dem Wendepunkt ist...kann das Zufall sein ?? Oder ist das schon die Lösung?

Nein. Zufall.

Zitat:

Original von gast01
und wie kann ich damit weiterrechnen ( zwei unbekannte)

Wie schon oben gesagt muß t(u) = f(u) sein.

13.05.2006, 14:17

gast01

Auf diesen Beitrag antworten »

heißt das
$\begin{eqnarray*} t(u)= ((lnu)^2 + 2lnu)u+ ( 2*u(lnu)^2)= f(u)=u(lnu)^2) \end{eqnarray*}$ ??
das kann doch nciht sein..ich glaub ich versteh nicht was du meinst..

13.05.2006, 14:42

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gast01
$\begin{eqnarray*} t(x)=((lnu)^2+2lnu)x+c \end{eqnarray*}$

Gehen wir nochmal zurück zur Tangentengleichung. Da mußt du das c erstmal so bestimmen, daß t(u)=f(u) ist. Erst dann ist es tatsächlich eine Tangente. Setzen wir das mal ein, dann erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} f(u) = t(u) = ((lnu)^2+2lnu) \cdot u + c \end{eqnarray*}$
Also ist:
$\begin{eqnarray*} c = f(u) - ((lnu)^2+2lnu) \cdot u \end{eqnarray*}$

Und damit lautet die vollständige Tangentengleichung:
$\begin{eqnarray*} t(x)=((lnu)^2+2lnu)x + f(u) - ((lnu)^2+2lnu) \cdot u \end{eqnarray*}$

Andererseits soll die Tangente die y-Achse in 2*f(u) schneiden. Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} 2\cdot f(u) = t(0) = f(u) - ((lnu)^2+2lnu) \cdot u \end{eqnarray*}$

Und diese Gleichung kannst du nach u auflösen.

13.05.2006, 15:24

gast01

Auf diesen Beitrag antworten »

da komm ich auf:

$\begin{eqnarray*} 2u(lnu)^2=u(lnu)^2-((lnu)^2+2lnu)*u | -2u(lnu)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u(lnu)^2-((lnu)^2+2lnu)*u -2u(lnu)^2=0 |ausklammern \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (lnu)^2(u-(1+\frac{2}{lnu})*u-2u=0| /(lnu)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (u- u +\frac{2u}{lnu}-2u=0 | +2u \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{2u}{lnu}=2u |*lnu \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2u=2u*lnu |/2u \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1=lnu |e^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u= e^1 \end{eqnarray*}$

aber das stimmt ja garnicht...

13.05.2006, 15:27

gast01

Auf diesen Beitrag antworten »

hab den fehler gefunden es kommt $\begin{eqnarray*} u= e^{-1} \end{eqnarray*}$ raus

13.05.2006, 15:30

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab jetzt nicht nachgerechnet, wo der Fehler steckte. Aber das Ergebnis stimmt. Freude