Differenzierbarkeit überprüfen

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DreamTheater123 Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzierbarkeit überprüfen
Hi

Habe hier einmal ein kleines Problem. Und zwar geht es um das
Überprüfen von Differenzierbarkeit in einem bestimmten Punkt einer Funktion.
An einer Stelle komme ich da nämlich gar nicht weiter.

Ein Beispiel:


wenn x ungleich 0
wenn x gleich 0

Hier möchte ich jetzt zeigen, dass die Funktion f(x) in x=0 nicht differenzierbar ist.

*Hmm, erstmal im Skript wühl und Definition aufschreib*

Definition: Eine Funktion f:X->Y heißt differenzierbar im Punkt x_0 wenn der Grenzwert

existiert.

Nun versuche ich das mal auf die konkrete Funktion anzuwenden:














1. Frage: Ist das korrekt soweit?
2. Frage: Wie geht es weiter. Bzw. wie kann ich am besten begründen, dass der Grenzwert für x gegen 0 nicht existiert?


Analog bei fongender funktion:

wenn x ungleich 0
wenn x gleich 0

Hier komme ich bis:

und bin ratlos ... unglücklich

Könnt ihr mir da weiterhelfen?
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit überprüfen
Zitat:
Original von DreamTheater123
1. Frage: Ist das korrekt soweit?

Ja, sieht gut aus!

Zitat:
Original von DreamTheater123
2. Frage: Wie geht es weiter. Bzw. wie kann ich am besten begründen, dass der Grenzwert für x gegen 0 nicht existiert?

Substituiere 1/x=n und die Divergenz von sin(n) für n=>Unendlich dürfte klar sein.


Beim zweiten dürfte auch die Substitution helfen.
DreamTheater123 Auf diesen Beitrag antworten »

Moment, ich muss doch hier den Grenzwert für n gegen 0 betrachten,
nicht für n gegen unendlich.

In unserem Vorlesungsskript gibt es da u.a. auch einen Satz für "verschachtelte Grenzwerte".
Der geht so:





Das bedeutet ja, dass ich, wenn ich eine Funktion durch eine Variable y substituiere, der Grenzwert der "neuen" Funktion dann für y gegen den Grenzwert der Substituierten funktion betrachtet werden muss.

Bei meiner Funktion sähe das dann ja so aus:

Müsste ich dann sin(1/x) zu sin(n) substituieren. Um dann allerdings zu bestimmen gegen was n nun gehen soll brauche ich den Grenzwert von 1/x für x gegen 0. Problem jetzt: durch Null darf ich ja nicht teilen.





Oder mache ich irgentetwas falsch?
JustMine Auf diesen Beitrag antworten »

Der Limes von x gegen 0 von 1/x müsste ja eigentlich unendlich sein. Das wäre zumindest logisch, da, wenn man zum Beispiel für x=0,00000000000000001 wählt. Man einen sehr großen Wert erhällt, der wenn man noch kleinere Werte die aber trotzdem >=0 sind doch unendlich sein müsste...
Aber ob das so formal korrekt ist. Keine Ahnung.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit überprüfen
Wenn du 1/x=n substituierst, dann ist x gegen 0 äquivalent mit n gegen unendlich. Denn 1/x wird für x gegen Null beliebig groß.

Bei der Nicht-Existenz des Grenzwerts kannst du auch anders argumentieren:

Betrachte die Folge und

Beide Folgen konvergieren gegen Null für n gegen unendlich. Was machen aber die Folge der Funktionswerte davon?
DreamTheater123 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn du 1/x=n substituierst, dann ist x gegen 0 äquivalent mit n gegen unendlich. Denn 1/x wird für x gegen Null beliebig groß.

Diese überlegung hatte ich im Prinzip auch schon getroffen. Allerdings hatte ich mir dann mal überlegt gegen was 1/x grenzt, wenn ich die größte reelle Zahl <0 für x nehme. Dann hätte ich das Problem, dass ich 1/x für x gegen 0 zwischen minus unendlich und plus unendlich eingränzen kann, womit ich ja rein gar nichts gewonnen hätte.
Zitat:
Wenn du 1/x=n substituierst, dann ist x gegen 0 äquivalent mit n gegen unendlich. Denn 1/x wird für x gegen Null beliebig groß
Aber wenn ich das so anwenden kann ist das Problem ja eigentlich gelöst smile

Zitat:
Was machen aber die Folge der Funktionswerte davon?

Entweder ich verstehe die frage nicht richtig, oder sie gehen gegen unendlich. Ich würde zu erstem tendieren smile
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DreamTheater123
Diese überlegung hatte ich im Prinzip auch schon getroffen. Allerdings hatte ich mir dann mal überlegt gegen was 1/x grenzt, wenn ich die größte reelle Zahl <0 für x nehme. Dann hätte ich das Problem, dass ich 1/x für x gegen 0 zwischen minus unendlich und plus unendlich eingränzen kann, womit ich ja rein gar nichts gewonnen hätte.

OK. Es reicht, wenn du nur x>0 betrachtest. Wenn schon der Grenzwert für x gegen Null mit der Einschränkung x>0 nicht existiert, dann existiert er generell nicht.

Zitat:
Original von DreamTheater123
Entweder ich verstehe die frage nicht richtig, oder sie gehen gegen unendlich. Ich würde zu erstem tendieren smile

OK. Bilde doch mal f(a_n) bzw. f(b_n). Was findest du?
DreamTheater123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit überprüfen
Meinst du das:




f(a_n) liefert für alle ganzzahligen werte für n immer 0
f(b_n) hingegen für alle ganzzahligen werte für n hingegen immer 1

Daran kann man ja im Prinzip erkennen, dass die Sinusfunktion keinen Grenzwert hat, oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit überprüfen
Genau. Exakt formuliert heißt das so:
Es gibt zwei Folgen, die beliebig nah an Null rangehen, wo aber die Folge der Funktionswerte einmal gegen Null und einmal gegen 1 konvergieren. Also kann die Funktion für x gegen Null keinen Grenzwert haben.
DreamTheater123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit überprüfen
Zitat:
Original von klarsoweit
Genau. Exakt formuliert heißt das so:
Es gibt zwei Folgen, die beliebig nah an Null rangehen, wo aber die Folge der Funktionswerte einmal gegen Null und einmal gegen 1 konvergieren. Also kann die Funktion für x gegen Null keinen Grenzwert haben.
Gut, vielen Dank dafür an euch smile

Aber noch eines:
Wissen wir denn, dass unendlich eine ganze zahl ist?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit überprüfen
Unendlich ist keine Zahl, geschweige denn eine ganze Zahl.
In meiner abschließenden Begründung kommt der Begriff "unendlich" auch gar nicht vor.
DreamTheater123 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm. Ich bin grad darüber am grübeln, wie ich dass alles einigermaßen formal aufschreibe. Gerade diese stelle an der ich zeige, dass f(a_n) gegen 0 konvergiert und f(b_n) gegen 1 ist mir sehr unklar. Hier ist jedenfalls mal mein Ansatz. evtl fehlerhaft.




a_n und b_n sind beides Folgen die für n gegen unendlich gegen 0 konvergieren.

Aber:


Und:


Also gibt es zwei Folgen, die beliebig nah an Null rangehen, wo aber die Folge der Funktionswerte einmal gegen Null und einmal gegen 1 konvergieren. Also kann die Funktion f(x) = sin(x) für x gegen Null keinen Grenzwert haben.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DreamTheater123
Funktion f(x) = sin(x)

Mit dieser kleinen Korrektur stimmt's 100%:
f(x) = sin(1/x)
DreamTheater123 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von DreamTheater123
Funktion f(x) = sin(x)

Mit dieser kleinen Korrektur stimmt's 100%:
f(x) = sin(1/x)

Achso, das hatte ich übersehen smile

Was mir jetzt noch unklar ist: warum muss ich zum Beispiel bei f(a_n) den Limes für n gegen 0 betrachen?

Und:
Wenn ich den Lim für n gegen 0 betrachte, kann ich dann nicht einfachere Folgen wie z.B.



Würde doch aufs gleiche hinauslaufen!? Oder nicht?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ach herrje, habe ich auch übersehen. Das muß natürlich der Limes für n gegen unendlich sein. Augenzwinkern
DreamTheater123 Auf diesen Beitrag antworten »

OK.

Das mit dem n gegen unendlich ist zwar weitaus einleuchtender, aber aber stellt mich nun vor ein neues Problem. Jetzt komme ich bei der Bestimmung des Limes nicht vorran. Was bringen mir denn folgende Zeilen:

Und:

?

Wenn ich stur einsetze habe ich sin(unendlich) und sin(unendlich+pi/2). Habe ich da was gewonnen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wie man allgemein weiß, gilt:



da der sinus 2-pi-periodisch ist.
DreamTheater123 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Wie man allgemein weiß, gilt:



da der sinus 2-pi-periodisch ist.

Gut. Aber meiner Information nach gilt das nur für alle n aus Z. Also für alle ganzen Zahlen. Wobei ich mir dann schonwieder die Frage stelle ob unendlich ganzzahlig ist. Da du das bereits verneint hast frage ich mich, ob man unendlich in diesem Fall wie eine ganze Zahl behandeln darf?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal zum Thema unendlich. Da hast du doch einige Verständnisschwierigkeiten. Wenn man sagt "n läuft gegen unendlich" dann bedeutet das, daß das n beliebig groß wird. Es übersteigt also jede beliebige Grenze. "Unendlich" ist keine Zahl und kann auch nicht in den Grenzwertausdruck eingesetzt werden. "Unendlich" ist nur eine abkürzende Schreibweise für den Sachverhalt, daß n beliebig groß wird.

Nebenbei ist das n eine natürliche Zahl, mithin also auch ganzzahlig. Damit gelten auch die einschlägigen sinus-Regeln.
DreamTheater123 Auf diesen Beitrag antworten »

OK, Danke vielmals für die ganzen Erläuterungen. Somit wären dann glaub ich auch alle Unklarheiten behoben.
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