Komplexe Zahlen

12.08.2008, 12:17

Hans123

Komplexe Zahlen

Hallo

Ich habe eine frage zu dieser gleichung:

$\begin{eqnarray*} x^3-4x^2+9x-10=0 \end{eqnarray*}$

meine lösungen sind:

X= 2
X = 1 ± 2i

Ich habe gelernt, dass die lösungen einer solchen aufgabe in der gausschen eben alle auf einem kreis um den ursprung liegen und der winkel zwischen den "vektoren der lösungen" alle gleich gross sein sollten.
Wenn ich aber diese lösungen nun in der gaussschen ebene einzeichne trifft dies nicht zu. Kann mir jemand erklären warum nicht?

12.08.2008, 12:27

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahlen
Da hast du offensichtlich was falsches gelernt.
Deine Regel trifft zu auf Gleichungen der Form $\begin{eqnarray*} x^n = a \end{eqnarray*}$ .

12.08.2008, 13:11

Hans123

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RE: Komplexe Zahlen
Wieso trifft dann diese regel auf folgende aufgabe zu?

Aufgabe:
x³ - 1 = 0

Lösung:
X=1
X= -0,5 ± 0,866i

Diese aufgabe konnte ich mit folgender formel lösen.

$\begin{eqnarray*} $z_k = \sqrt[n]{r}( \cos (\frac{\varphi + k \cdot 2 \pi}{n}) + i \sin (\frac{\varphi + k \cdot 2 \pi}{n}) )$ \end{eqnarray*}$

Diese formel dürfte ja man eigentleich auch nur für gleichungen der form $\begin{eqnarray*} x^n = a \end{eqnarray*}$ anwenden?

Zu dieser Formel habe ich ohnehin eine Frage:
Nehmen wir an ich muss die 3. wurzel einer komplexen zahl ziehen. Also n=3.
Dann steht in dieser frmel für $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{r} \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{r} \end{eqnarray*}$
Was ja wiederum eine dritte wurzel ist und erneut drei lösungen verlangt. Wo ist mein denkfehler?

12.08.2008, 13:22

kiste

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x^3-1=0 ist doch dasselbe wie x^3 = 1, also die obige Form mit n=3 und a=1

12.08.2008, 14:16

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahlen

Zitat:

Original von Hans123
Zu dieser Formel habe ich ohnehin eine Frage:
Nehmen wir an ich muss die 3. wurzel einer komplexen zahl ziehen. Also n=3.
Dann steht in dieser frmel für $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{r} \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{r} \end{eqnarray*}$
Was ja wiederum eine dritte wurzel ist und erneut drei lösungen verlangt. Wo ist mein denkfehler?

Zum einen ist r eine positive reelle Zahl, zum anderen ist daher $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{r} \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmt. Die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^3 = r \end{eqnarray*}$ hingegen hat im Bereich der komplexen Zahlen mehrere Lösungen.

12.08.2008, 14:57

Hans123

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RE: Komplexe Zahlen

Zitat:

D.h. es gib einen unterschied zwischen
$\begin{eqnarray*} x^3 = r \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} x=\sqrt[3]{r} \end{eqnarray*}$

für r= reelle positive zahl?

Ich kann nicht verstehen wieso $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{r} \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmt ist. Wenn wir z.B. $\begin{eqnarray*} \sqrt[2]{r} \end{eqnarray*}$ nehmen, gäbe es ja auch 2 lösungen. Oder soll ich das einfach ignorieren und $\begin{eqnarray*} r^{\frac{1}{n} } \end{eqnarray*}$ rechnen?

12.08.2008, 15:12

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahlen

Zitat:

Original von Hans123
D.h. es gib einen unterschied zwischen
$\begin{eqnarray*} x^3 = r \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} x=\sqrt[3]{r} \end{eqnarray*}$

für r= reelle positive zahl?

Ja und nein. Wenn r eine positive reelle Zahl ist, ist die Lösung von $\begin{eqnarray*} x^3 = r \end{eqnarray*}$ innerhalb der reellen Zahlen eindeutig bestimmt und es ist $\begin{eqnarray*} x=\sqrt[3]{r} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Hans123
Wenn wir z.B. $\begin{eqnarray*} \sqrt[2]{r} \end{eqnarray*}$ nehmen, gäbe es ja auch 2 lösungen.

Das ist falsch. $\begin{eqnarray*} \sqrt[2]{r} \end{eqnarray*}$ ist nur für positive reelle Zahlen definiert und hat ein eindeutiges Ergebnis. Die Schreibweise $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1} = i \end{eqnarray*}$ ist in meinen Augen unsauber (obwohl man das häufig sieht). Wenn man so will, ist dann ja auch $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1} = -i \end{eqnarray*}$ . Aber wie gesagt: für mich ist das schnoddrige Mathematik. Die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2 = -1 \end{eqnarray*}$ hat hingegen innerhalb der komplexen Zahlen 2 Lösungen, aber nicht $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ , sondern eben i und -i.

12.08.2008, 15:40

Hans123

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RE: Komplexe Zahlen
Ich galube ich habe es ein stück weit begriffen, danke für die hilfe Freude

Aber nehmen wir mal den konkreten fall:

$\begin{eqnarray*} z^3 = 4+5i \end{eqnarray*}$

d.h. für mich:

$\begin{eqnarray*} z=\sqrt[3]{4+5i} \end{eqnarray*}$

Nun will ich folgende formel anwenden:

$\begin{eqnarray*} $z_k = \sqrt[n]{r}( \cos (\frac{\varphi + k \cdot 2 \pi}{n}) + i \sin (\frac{\varphi + k \cdot 2 \pi}{n}) )$ \end{eqnarray*}$

für mich ist:

$\begin{eqnarray*} r=\sqrt{4^{2}+5^{2}}= 6.403... \end{eqnarray*}$

Bei $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{r} \end{eqnarray*}$ heisst's nun: $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{ 6.403...} \end{eqnarray*}$

Wie rechne ich dieses $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{ 6.403...} \end{eqnarray*}$ aus?

Reicht es in dem fall, wenn ich $\begin{eqnarray*} 6.403...^{\frac{1}{3} } \end{eqnarray*}$ ausrechne?

12.08.2008, 16:03

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahlen

Zitat:

Original von Hans123
d.h. für mich:

$\begin{eqnarray*} z=\sqrt[3]{4+5i} \end{eqnarray*}$

Genau das ist das, was ich bemängele. Der Term auf der rechten Seite ist nicht eindeutig und daher so nicht definiert.

Zitat:

Original von Hans123
Reicht es in dem fall, wenn ich $\begin{eqnarray*} 6.403...^{\frac{1}{3} } \end{eqnarray*}$ ausrechne?

Ja. Ganz einfach mit dem Taschenrechner. Augenzwinkern

12.08.2008, 16:15

Hans123

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RE: Komplexe Zahlen
ok, in dem fall ist für mich jetzt alles klarsoweit Augenzwinkern

Einfach diesen nicht definierten zwischenschritt vermeiden.

danke, und man "tippt" sich^^

13.08.2008, 16:37

S0undmaker

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RE: Komplexe Zahlen
Allgemein gilt doch:

ein polynam n-ten grades besitzt exakt n Nullstellen
das ist ja klar,aber

treten komplexe Nullstellen auf, so treten diese im paarweise auf, und zwar sind diese dann konjugiert komplex. I n er Gaus'schen Zahlenebene eingezeichnet ergeben diese Paar logischerweise einen gleichen absoluten Winkel bezogen auf die reelle Achse.

Vielleicht ist o.a.Aspekt der Hinweis für dein Winkel-Problem

13.08.2008, 16:49

S0undmaker

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RE: Komplexe Zahlen
Ach übrigends, wenn du einen Kreis in gleiche Winkel unterteilen willst. Also ein regelmäßiges N-Eck in der Gaus'schen Zahleneben erstellen willst, Dann musst du die N-te Wurzel von deiner komplexen Zahl bilden.

Denn Wurzeln könne als Exponent geschrieben werden und komplexe Zahlen in der Eulerform.

13.08.2008, 17:16

Cordovan

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Zitat:

treten komplexe Nullstellen auf, so treten diese im paarweise auf, und zwar sind diese dann konjugiert komplex.

Nö, nur bei reellen Koeffizienten. Zum Beispiel $\begin{eqnarray*} f(z)=(z-1)(z-\mathrm i) \end{eqnarray*}$

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