Existenz Nullstelle holomorpher Funktion

12.08.2008, 12:21

Flooh

Existenz Nullstelle holomorpher Funktion

Hallo,
ich benötige einen Tipp zu dieser Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} f:B_1(0)\rightarrow \mathbb C \end{eqnarray*}$ holomorphe, nicht-konstante Funktion, die stetig auf $\begin{eqnarray*} \partial B_1(0) \end{eqnarray*}$ fortsetzbar ist. Es sei weiter $\begin{eqnarray*} \mid f(z) \mid = 1 \end{eqnarray*}$ für alle z mit $\begin{eqnarray*} \mid z \mid = 1 \end{eqnarray*}$ . Beweise, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle in $\begin{eqnarray*} B_1(0) \end{eqnarray*}$ hat.

Mit Hilfe des Maximumprinzip konnte ich bisher nur $\begin{eqnarray*} \mid f(z) \mid \leq 1 \forall z\in B_1(0) \end{eqnarray*}$ zeigen. Nur wie geht es dann weiter? smile

Gruß,
Flooh

12.08.2008, 21:22

Abakus

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RE: Existenz Nullstelle holomorpher Funktion
Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ keine Nullstelle hätte, was kannst du dann über $\begin{eqnarray*} \frac 1 f \end{eqnarray*}$ sagen ?

Grüße Abakus smile

13.08.2008, 12:09

Flooh

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RE: Existenz Nullstelle holomorpher Funktion

Zitat:

Original von Abakus
Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ keine Nullstelle hätte, was kannst du dann über $\begin{eqnarray*} \frac 1 f \end{eqnarray*}$ sagen ?

$\begin{eqnarray*} g:B_1(0)\rightarrow \mathbb C, g(z):=\frac{1}{f(z)} \end{eqnarray*}$ ist holomorph, nicht-konstant und $\begin{eqnarray*} \mid g(z) \mid \geq 1 \forall z\in B_1(0) \end{eqnarray*}$ . Richtig? smile

Nur wie geht es jetzt weiter? Im Skript habe ich folgende Aussage gefunden:
Für eine nicht-konstante, holomorphe Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hat $\begin{eqnarray*} \mid f \mid \end{eqnarray*}$ nur in denjenigen Punkten $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ innere Minima, für die $\begin{eqnarray*} f(z)=0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Heißt das, dass $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ inneres Minimum von $\begin{eqnarray*} \mid f \mid \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow f(z)=0 \end{eqnarray*}$ ? Bin mir da gerade irgendwie nicht ganz sicher...
Und was versteht man unter einem inneren Minimum? Dass der Punkt an dem $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ das Minimum annimmt ein innerer Punkt des Definitionsbereichs ist oder dass es sich um ein lokales Minimum handelt?

Ich stehe leider gerade etwas auf dem Schlauch...

13.08.2008, 14:26

system-agent

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RE: Existenz Nullstelle holomorpher Funktion

Zitat:

Original von Flooh

Zitat:

Original von Abakus
Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ keine Nullstelle hätte, was kannst du dann über $\begin{eqnarray*} \frac 1 f \end{eqnarray*}$ sagen ?

Ja, soweit richtig. Du weisst sogar, dass $\begin{eqnarray*} |g(z)|=1 \end{eqnarray*}$ auf dem Rand, also für jedes $\begin{eqnarray*} z\in B_1(0) \end{eqnarray*}$ , denn es ist ja $\begin{eqnarray*} |f(z)|=1 \end{eqnarray*}$ für alle solche $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ .
Was folgt für $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ wenn du nochmals das Maximumsprinzip nutzt? Und was also für $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ?

14.08.2008, 11:12

Flooh

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RE: Existenz Nullstelle holomorpher Funktion

Zitat:

Original von system-agent
Du weisst sogar, dass $\begin{eqnarray*} |g(z)|=1 \end{eqnarray*}$ auf dem Rand, also für jedes $\begin{eqnarray*} z\in B_1(0) \end{eqnarray*}$ , denn es ist ja $\begin{eqnarray*} |f(z)|=1 \end{eqnarray*}$ für alle solche $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ .

Da du dich auf den Rand beziehst meintest du "für jedes $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mid z \mid = 1 \end{eqnarray*}$ ", oder?

Zitat:

Original von system-agent
Was folgt für $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ wenn du nochmals das Maximumsprinzip nutzt? Und was also für $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ?

Da $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ natürlich auch stetig fortsetzbar auf $\begin{eqnarray*} \partial B_1(0) \end{eqnarray*}$ folgt erneut mit Maximumprinzip, dass $\begin{eqnarray*} \mid g(z) \mid \leq 1 \forall z\in B_1(0) \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \mid g(z) \mid = 1 \forall z\in B_1(0) \end{eqnarray*}$ .
Da $\begin{eqnarray*} \mid g \mid \end{eqnarray*}$ in jedem $\begin{eqnarray*} z\in B_1(0) \end{eqnarray*}$ ein Maximum hat, folgt wiederum aus dem Maximumprinzip, dass $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ konstant. Dies ist ein Widerspruch zur Annahme

Zitat:

Original von Abakus
Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ keine Nullstelle hätte...

.
Somit hat $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle in $\begin{eqnarray*} B_1(0) \end{eqnarray*}$ .
Geht das so? smile

Kann vielleicht jemand noch kurz darauf eingehen:

Zitat:

Für eine nicht-konstante, holomorphe Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hat $\begin{eqnarray*} \mid f \mid \end{eqnarray*}$ nur in denjenigen Punkten $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ innere Minima, für die $\begin{eqnarray*} f(z)=0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Heißt das, dass $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ inneres Minimum von $\begin{eqnarray*} \mid f \mid \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow f(z)=0 \end{eqnarray*}$ ? Bin mir da gerade irgendwie nicht ganz sicher...
Und was versteht man unter einem inneren Minimum? Dass der Punkt an dem $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ das Minimum annimmt ein innerer Punkt des Definitionsbereichs ist oder dass es sich um ein lokales Minimum handelt?

14.08.2008, 15:05

system-agent

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RE: Existenz Nullstelle holomorpher Funktion

Zitat:

Original von Flooh

Zitat:

Da du dich auf den Rand beziehst meintest du "für jedes $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mid z \mid = 1 \end{eqnarray*}$ ", oder?

Ja, genau.

Zitat:

Original von Flooh
Geht das so? smile

Ja, allerdingt brauchst du nur, dass $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ holomorph ist. Du weisst ja, dass $\begin{eqnarray*} |g(z)|=1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ auf dem Rand und $\begin{eqnarray*} |g(z)|\geq1 \end{eqnarray*}$ für alle inneren $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ . Damit folgt nach dem Maximumsprinzip, dass $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ konstant ist und letztlich auch, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konstant ist.

Zitat:

Original von Flooh
Kann vielleicht jemand noch kurz darauf eingehen:

Zitat:

Heißt das, dass $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ inneres Minimum von $\begin{eqnarray*} \mid f \mid \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow f(z)=0 \end{eqnarray*}$ ? Bin mir da gerade irgendwie nicht ganz sicher...

Ja, das kann man so sagen. Wichtig ist hier natürlich, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht konstant ist, denn das Minimumsprinzip sagt nur, dass wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein Minimum in $\begin{eqnarray*} c\in G \end{eqnarray*}$ hat, mit $\begin{eqnarray*} f:G\to\mathbb C \end{eqnarray*}$ , dann ist entweder $\begin{eqnarray*} f(c)=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konstant.

Zitat:

Original von Flooh
Und was versteht man unter einem inneren Minimum? Dass der Punkt an dem $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ das Minimum annimmt ein innerer Punkt des Definitionsbereichs ist oder dass es sich um ein lokales Minimum handelt?

Inneres Minimum heisst einfach, dass die Stelle, an der das Minimum angenommen wird, im Gebiet liegt und nicht auf dem Rand des Gebietes.

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