selbstadjungierte abbildung

13.05.2006, 16:39

christian1985

selbstadjungierte abbildung

Hallo!

Ich soll beweisen, dass folgende abbildung selbdstadjungiert ist:

$\begin{eqnarray*} \Im [T] := \frac{1}{2} (T + T^*) \end{eqnarray*}$

Nun hab ich gelesen dass eine abbildung genau dann selbstadjungiert ist wenn gilt:
$\begin{eqnarray*} <f(x)|w> = <x|f(w)> \end{eqnarray*}$

Nun wenn das sowäre dann müsste ich ja nur einwenig die eigenschaften des skalarprodukts ausnutzen und schon hätte ich den beweis. Ist das wirklich so einfach? Kann mir jemand nen tipp oder nen ansatz geben?

Achja T sei eine Abbildung von $\begin{eqnarray*} T : H \Rightarrow H \end{eqnarray*}$
wobei H ein n-dimensionaler Hilbertraum ist

mfg, christian

13.05.2006, 17:36

Abakus

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RE: selbstadjungierte abbildung
Berechne $\begin{eqnarray*} \Im [T]^* \end{eqnarray*}$ und nutze die Eigenschaften der "*"-Operation aus.

Grüße Abakus smile

13.05.2006, 17:52

christian1985

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RE: selbstadjungierte abbildung
naja okay wenn ich $\begin{eqnarray*} \Im [T]^* \end{eqnarray*}$ berechne hätte ich
$\begin{eqnarray*} \Im [T]^* = \frac{1}{2} (T^* + T) \end{eqnarray*}$ aber was hilft mir das weiter?
Ist der weg über das skalarprodukt nicht richtig?

13.05.2006, 19:06

Abakus

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RE: selbstadjungierte abbildung

Zitat:

Original von christian1985
naja okay wenn ich $\begin{eqnarray*} \Im [T]^* \end{eqnarray*}$ berechne hätte ich
$\begin{eqnarray*} \Im [T]^* = \frac{1}{2} (T^* + T) \end{eqnarray*}$ aber was hilft mir das weiter?

Naja, eine Abbildung U ist selbstadjungiert, wenn $\begin{eqnarray*} U^* = U \end{eqnarray*}$ (und diese Eigenschaft wäre dann für $\begin{eqnarray*} \Im [T] \end{eqnarray*}$ gezeigt).

Zitat:

Ist der weg über das skalarprodukt nicht richtig?

Welcher Weg? Wenn du einen Beweis hast, gib ihn an. Dann sehen wir, ob es richtig ist.

Grüße Abakus smile

14.05.2006, 15:36

quarague

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man kann das adjungierte direkt so ausrechnen, wenn man weiss,
dass adjungieren linear ist
und 2 mal adjungieren die Identität ist
der Beweis ist dann wirklich ein Zweizeiler

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selbstadjungierte abbildung

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