Komplexe Zahlen

12.08.2008, 19:43

Skinny

Komplexe Zahlen

Hallo,

ich habe ein Problem zu folgender Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} (z-1)^{3}=-1 \end{eqnarray*}$

Ich habe schon versucht (z-1)(z-1)(z-1) zu rechnen, aber ich komme am Ende nur zu einem Wirrwarr.

Dasselbe Problem habe ich bei:

$\begin{eqnarray*} (2z)^{4}+1= 0 \end{eqnarray*}$

z=x+i*y

Kann mir jemand eine Starthilfe geben? Ich weiß nicht wie ich mit dem z umgehen muss, wenn da noch etwas dabei steht.

12.08.2008, 20:02

tigerbine

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RE: Komplexe Zahlen
Wir würde denn die komplexen Lösung von

$\begin{eqnarray*} \hat{z}^3 + 1 = 0 \end{eqnarray*}$

lauten?

12.08.2008, 20:18

Skinny

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Da würde ich:

$\begin{eqnarray*} z1= \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} }{2} i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z2= - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z3=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} }{2} i \end{eqnarray*}$

heraus bekommen.

12.08.2008, 20:26

tigerbine

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1. Indizes mit _{}

2. Wie kommst du auf diese Lösungen? also was für Wurzeln sind das?

3. Wie hängen nun $\begin{eqnarray*} \hat{z} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ zusammen?

12.08.2008, 20:55

Skinny

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Sorry, ich habe statt $\begin{eqnarray*} \hat{z}^{ 3} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} z^{3} \end{eqnarray*}$ berechnet, aber der Unterschied ist ja nur das Vorzeichen vor dem Im-teil.

$\begin{eqnarray*} z_{k}= e^{i \frac{1}{3}+ \frac{k*2\pi }{3} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \hat{z}_{k}= e^{-(i \frac{1}{3}+ \frac{k*2\pi }{3} )} \end{eqnarray*}$

k=0,1,2

Oder liege ich komplett daneben?

12.08.2008, 21:13

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} \hat{z}^3 + 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Da wollte ich das Stichwort "Einheitswurzeln" hören und auf die Ideen, wie man so etwas lösen kann. Nun interessieren uns aber nciht die Wurzeln der 1 sondern der -1. Mit der Idee, die man bei den Einheitswurzeln benutzt hat und den Polarkoordianten ergibt sich dann:

$\begin{eqnarray*} |\hat{z}| = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi_1 = \pi = 180°, \varphi_2 =\frac{1}{3}\pi = 60°, \varphi_3 = -\frac{1}{3}\pi =- 60° \end{eqnarray*}$

Das muss nun in $\begin{eqnarray*} \hat{z}=\hat{x} + i\cdot \hat{y} \end{eqnarray*}$ übersetzt werden. Das sollte dann

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \hat{z}_2= \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} }{2} i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \hat{z}_1= - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \hat{z}_3=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} }{2} i \end{eqnarray*}$

Dann kannst du z bestimmen.

12.08.2008, 21:38

Skinny

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Ja, die Ergebnisse hatte ich ja auch so.

Aber wie formt man $\begin{eqnarray*} \hat{z}^3+1=0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (z-1)^3=-1 \end{eqnarray*}$ um?

12.08.2008, 21:47

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} (z-1)^3=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\underbrace{z-1}_{=: \hat{z}})^3 +1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \hat{z}^3+1=0 \end{eqnarray*}$

12.08.2008, 22:05

Skinny

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Achso, also sind die Ergebnisse von $\begin{eqnarray*} (z-1)^3=-1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} z_{2}=-\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{1}=-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{3}=-\frac{3}{2} +\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

da ich noch -1 rechnen muss oder?

Ich dachte immer du meinst mit $\begin{eqnarray*} \hat{z} \end{eqnarray*}$ z quer.

12.08.2008, 22:15

tigerbine

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nein, +1 musst du rechnen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} z_2= +\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} }{2} i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_1= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_3=\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3} }{2} i \end{eqnarray*}$

Gerade mit z_1 siehst du ja leicht, dass deine Lösung nicht stimmt.

12.08.2008, 22:21

Skinny

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Ach ja, weil aus z-1 > z=1 wird?!

Okay, aber bei $\begin{eqnarray*} z_{3} \end{eqnarray*}$ heißt es $\begin{eqnarray*} +\frac{\sqrt{3} }{2} \end{eqnarray*}$ oder?

Zu meiner zweiten Aufgabe: Da rechne ich dann ganz am Ende :2?

12.08.2008, 22:26

tigerbine

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Warum sollte es "+" heißen?

12.08.2008, 22:29

Skinny

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Ach ne, entschuldige, ich hab da etwas verdreht.

12.08.2008, 22:34

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} (2z)^{4}+1= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \hat{z}^4+1 = 0 \end{eqnarray*}$

Gleicher Gedankenansatz liefert die Lösungen:

$\begin{eqnarray*} |\hat{z}|=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi_1 =\frac{1}{4}\pi = 45° \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi_2 =\frac{3}{4}\pi = 135° \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi_3 =\frac{5}{4}\pi = 225° \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi_4 =-\frac{1}{4}\pi =-45° \end{eqnarray*}$

12.08.2008, 22:59

Skinny

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Okay, ich habe nun Folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} z_{0}= \frac{\sqrt{2}}{4}+ \frac{\sqrt{2}}{4}i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{1}= -\frac{\sqrt{2}}{4}+ \frac{\sqrt{2}}{4}i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{2}= -\frac{\sqrt{2}}{4}- \frac{\sqrt{2}}{4}i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{3}= \frac{\sqrt{2}}{4}- \frac{\sqrt{2}}{4}i \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für deine Hilfe Tigerbine!
Ich hoffe,dass ich dich nicht allzu sehr gestresst habe smile

12.08.2008, 23:05

tigerbine

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Ok, bis auf die Indizes die nun bei 0 beginnen, sollte es stimmen, wenn ich nicht schon zu Schläfer

bin.

$\begin{eqnarray*} \hat{z_1} = \frac{1}{\sqrt{2}} + i \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$

Das dann noch durch 2 geteilt. passt.

13.08.2008, 13:39

Skinny

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Hallöchen

Ich bin wieder hängen geblieben und ich schreibe das gleich mit hier rein. Und zwar bei folgenden Aufgaben:

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{z-2}{1-i} \mid < 1 \end{eqnarray*}$ (anschließend gilt Re(z) >Im(z))

$\begin{eqnarray*} Re(\frac{1}{z}) \geq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ (außerdem $\begin{eqnarray*} \mid z \mid \leq 1 \end{eqnarray*}$ )

Ich habe bei der 1. Aufgabe gleichgesetzt, die Beträge berechnet,Wurzeln entfernt und erhalte:

$\begin{eqnarray*} z^2+4 < 2 \end{eqnarray*}$

Als Lösungen würde dann: $\begin{eqnarray*} z_{0}= \sqrt{2} i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_{1}= -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ herauskommen, was mir aber irgendwie falsch vorkommt, da die 2. Bedingung dann sinnlos wäre.

13.08.2008, 22:12

tigerbine

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Was soll mir das in den Klammern sagen?

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{z-2}{1-i} \mid < 1 \end{eqnarray*}$

Würde das nun eben mal auf die gleiche Darstellung bringen.

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{(x-2)+iy}{1-i} \mid < 1 \end{eqnarray*}$

Nächste Frage ist wohl, wie teilt man durch eine komplexe Zahl? (http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Division) Diese entstandene Zahl nennen wir nun u+iv. Dann bleibt noch zu lösen:

$\begin{eqnarray*} |u+iv| < 1 \end{eqnarray*}$

Wie berechnet man also den Betrag einer komplexen Zahl?

$\begin{eqnarray*} \sqrt{u^2+v^2} < 1 \end{eqnarray*}$

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