Ungleichung zu lösen. Induktion?

13.05.2006, 19:06

michaelkrefeld

Ungleichung zu lösen. Induktion?

$\begin{eqnarray*} (\sum_{i=1}^n~x_i) ^2 \leq n\sum_{i=1}^n~(x_i) ^2 \end{eqnarray*}$

Diese Ungleichung soll ich auf meinem aktuellen Geometrie Übungszettel lösen. Zu sagen ist noch, dass die $\begin{eqnarray*} x_i~ aus~ \mathbb R ~sind. \end{eqnarray*}$

Die Frage ist nun ob jemand einen Tipp hat. Liege ich zum Beispiel mit Induktion richtig? Wenn ich das mache dann geht es zwar ganz gut doch zum Schluss bleibt für mich immer noch zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 2 \cdot x_{n+1} \cdot \sum_{i=1}^n~x_i \leq \sum_{i=1}^{n+1}~(x_i) ^2 \end{eqnarray*}$

Wenn ich das dann erneut per Induktion versuche klappt die Überprüfung für n = 1 zwar noch, danach schlägt es aber komplett fehl.

Habt ihr Ideen oder Ratschläge?

Vielen Dank! Michael

13.05.2006, 19:39

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Nein, so kann's gar nicht klappen, weil diese Ungleichung

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot x_{n+1} \cdot \sum_{i=1}^n~x_i \leq \sum_{i=1}^{n+1}~(x_i) ^2 \end{eqnarray*}$

i.a. falsch ist: Betrachte z.B. $\begin{eqnarray*} x_1=x_2=\cdots=x_n=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{n+1}=1 \end{eqnarray*}$ , dann steht links 2 und rechts $\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

Versuch mal, von der richtigen Aussage $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n ~ \sum\limits_{j=1}^n ~ (x_i-x_j)^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$ zur Behauptung umzuformen.

Alternativ geht auch die CSU (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung), falls du die benutzen darfst.

13.05.2006, 23:30

michaelkrefeld

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Also mit dem vorgegebenen Doppelsummenzeichen bin ich gar nicht klar gekommen! Wie soll ich denn da eine Umformungen vornehmen? Da bräuchte ich noch ein paar Hinweise, bitte!

Mit der CSU habe ich folgendes versucht:

$\begin{eqnarray*} \mid \sum_{i=1}^n~{a_i b_i} \mid ~ \leq ~ \sqrt{\sum_{k=1}^n~{(a_i)^2}} \sqrt{\sum_{k=1}^n~{(b_i)^2}} \end{eqnarray*}$

dann auf beiden seiten quadriert und erhalte:

$\begin{eqnarray*} (\sum_{i=1}^n~{a_i b_i}~)^2 \leq ~ \sum_{k=1}^n~{(a_i)^2} \sum_{k=1}^n~{(b_i)^2} \end{eqnarray*}$

der linke term kommt dem ziel ja schon recht nahe, wenn ich einfach $\begin{eqnarray*} x_i:=a_i b_i \end{eqnarray*}$ setze

aber wie fasse ich rechts zusammen, dass ich auf $\begin{eqnarray*} n \cdot \sum_{i=1}^n~{(x_i)^2} \end{eqnarray*}$ komme?

kannst du mir da oder auch jemand anders nochmal weiterhelfen?

vielen dank

14.05.2006, 00:27

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Zitat:

Original von michaelkrefeld
Also mit dem vorgegebenen Doppelsummenzeichen bin ich gar nicht klar gekommen! Wie soll ich denn da eine Umformungen vornehmen? Da bräuchte ich noch ein paar Hinweise, bitte!

Mit binomischer Formel ausmultiplizieren, die negativen Mittelterme auf die andere Ungleichungsseite bringen, durch 2 teilen, fertig.

Zitat:

Original von michaelkrefeld
der linke term kommt dem ziel ja schon recht nahe, wenn ich einfach $\begin{eqnarray*} x_i:=a_i b_i \end{eqnarray*}$ setze

Was du setzt, ist nicht $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ , das ist vorgegeben. Du setzt $\begin{eqnarray*} a_i=x_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_i=1 \end{eqnarray*}$ .

14.05.2006, 12:19

michaelkrefeld

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Vielen Dank! Jetzt habe ich es hinbekommen smile

Echt super Du hast mir sehr geholfen!

--- Doppelpost zusammengefügt! Bitte "Edit" verwenden! ---

Anmerkung: Zum Schluss war noch gefragt wann die Gleichheit gilt! Dies durfte ohne Beweis angegeben werden!

Das habe ich aber selber herrausbekommen: für $\begin{eqnarray*} x_1=x_2=...=x_n \end{eqnarray*}$ gilt die Gleichheit!

Dankeschön nochmals!

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