Schwierigkeiten beim 3-fach Integral

12.08.2008, 21:55

Sanjo123

Schwierigkeiten beim 3-fach Integral

Hallo,

ich habe eine Aufgabe zu lösen, die lautet:
Wie groß ist das Volumen desjenigen Teiles der Kugel $\begin{eqnarray*} x²+y²+z²\leq a² \end{eqnarray*}$ , der innerhalb der Zylinderfläche $\begin{eqnarray*} (x-\frac{a}{2})²+y²=\frac{a²}{4} \end{eqnarray*}$ liegt (a>0).

Zuerst habe ich eine Skizze gemacht: Sieht in der x-y-Ebene so aus, dass man einen Kreis um den Mittelpunkt (0,0) hat, der einen Radius von a hat. Und dann liegt in diesem Kreis noch ein Kreis mit dem Radius a/2 und dem Mittelpunkt (a/2,0).

Nun, soweit so gut. Ich habe erst alles in Zylinderkoordinaten umgerechnet und bin auf folgende Beziehungen gekommen:
$\begin{eqnarray*} r²+z²\leq a²\Rightarrow ...\Rightarrow |z|\leq\sqrt{a²-r²} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r=\sqrt{a*r*cos(\alpha ) } \end{eqnarray*}$

Dann bin ich auf folgendes Integral gekommen:
$\begin{eqnarray*} \int_{\alpha =0}^{2 \pi }~\int_{r=0}^{\sqrt{a*r*cos(\alpha )}}~ \int_{z=-\sqrt{a²-r²}}^{\sqrt{a²-r²}}~r~dz~dr~d \alpha \end{eqnarray*}$

Das stimmt auch auchsoweit alles, nur die Winkelgrenzen sind falsch.

Laut Lösung muss es $\begin{eqnarray*} -\frac{\pi}{2} ... \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ sein verwirrt

Nur warum ? Ich mache doch einen vollen Umlauf mit dem Radius ?

Danke im Voraus für eure Mühen.

Ciao Sanjo123

12.08.2008, 22:17

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Kommt mir verdammt bekannt vor:

Volumen Kugel durchstoßen von Zylinder

12.08.2008, 23:13

Sanjo123

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Dankesehr dafür. Nur ist da die Lösung für kartesische Koordinaten skizziert worden.

Das hilft mir nicht so richtig dabei, zu verstehen, warum hier nicht über die vollen 2pi integriert werden soll unglücklich

12.08.2008, 23:23

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Ich habe den Link nicht angebracht, um irgendeine spezielle Lösungsvariante zu unterstützen. Sondern um überhaupt zu einer Lösung zu gelangen. Augenzwinkern

EDIT: Über dein Integrationsgebiet in Polarkoordinaten solltest du dir überhaupt ernsthaft Gedanken machen, auch dazu steht im verlinkten Thread einiges.

$\begin{eqnarray*} r=0 \ldots \sqrt{a*r*\cos(\alpha)} \end{eqnarray*}$

sieht auch nicht ganz koscher aus: Was hat das $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ (also die Integrationsvariable selbst) unter der Wurzel der oberen Integrationsgrenze zu suchen? Diese Grenze sollte jawohl (bzgl. r) konstant sein!!!

13.08.2008, 00:56

Sanjo123

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Ah, hab mich verschrieben, das r unter der Wurzel ist natürlich zuviel.

Aber die Rechnung in Polarkoordinaten steht so auch in der Musterlösung, führt also zum Ziel.

Also kannst du mir erklären, warum hier diese Integration gewählt wurde ?

Mir it klar, dass man auf verschiedenen Wegen zum Ziel kommt, aber ich würde gerne die meinige auch zu Ende führen.

13.08.2008, 11:09

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Zitat:

Original von Sanjo123
Ah, hab mich verschrieben, das r unter der Wurzel ist natürlich zuviel.

Nein, durch Weglassen des $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ dort wird es erst recht falsch. Rekapitulieren wir doch mal, was du da angestellt hast:

Du hast die Polarkoordinaten $\begin{eqnarray*} x=r\cos(\alpha),y=r\sin(\alpha) \end{eqnarray*}$ in die Bedingungsungleichung $\begin{eqnarray*} \left(x - \frac{a}{2} \right)^2 + y^2 \leq \frac{a^2}{4} \end{eqnarray*}$ für das Zylinderinnere eingesetzt und nach ein paar kleinen Umformungen $\begin{eqnarray*} r^2 \leq ar\cos(\alpha) \end{eqnarray*}$ erhalten.

Jetzt die Quadratwurzel zu ziehen ist keine sonderlich gute Idee - besser man entfernt erst mal noch das rechts stehende $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ , und zwar durch Division durch dasselbige, man gelangt zu $\begin{eqnarray*} r \leq a\cos(\alpha) \end{eqnarray*}$ , ohne Wurzel. D.h. wenn schon, dann lautet dieser Teil deines Integrals

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{a\cos(\alpha)} ~ \ldots ~ \dd r \end{eqnarray*}$

Was das "Warum" betrifft - lies meine Anmerkung im Profil.

13.08.2008, 11:18

Sanjo123

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Du hast natürlich völlig recht. Ich habe das in der Eile glatt übersehen. Danke dafür Freude

Und kannst du mir nun noch diese Geschichte mit dem Winkel erklären ? unglücklich

13.08.2008, 11:24

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Zitat:

Original von Sanjo123
Und kannst du mir nun noch diese Geschichte mit dem Winkel erklären ? unglücklich

Das solltest du dir anhand einer Skizze selbst klar machen:

Wo in der xy-Ebene steht denn der Kreis, über den du integrierst? Das ist kein im Ursprung zentrierter Kreis, sondern einer mit Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} \left( \frac{a}{2}, 0 \right) \end{eqnarray*}$ , der den Ursprung nur berührt. Die Polarkoordinaten, die du verwendest, gehen dagegen vom Ursprung, also nicht vom Kreismittelpunkt aus. Und jetzt denk nochmal über den zu betrachtenden Winkelbereich der Polarkoordinaten nach!

13.08.2008, 17:23

Sanjo123

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Mhm, stimmt macht schon Sinn, aber ist doch relativ schwer vorzustellen, wenn einem das noch etwas neu ist.

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