Lineare Unabhängigkeit + Basen |
| 12.08.2008, 22:11 | waynejuckts147 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Lineare Unabhängigkeit + Basen Ist es demnach richtig, dass... (s. auch hier)  http://s4.directupload.net/images/080812/temp/k22rfsyy.jpg- auf einer parallel-identischen Gerade sowohl die Vektoren "u und v", "AB und u", "AB und v", "AB, u, v" allesamt linear abhängig sind, weil alle Genannten unter sich den Nullvektor ergeben könnten? - auf einer parallel-verschiedenen Gerade die Vektoren "AB und u", "AB und v" linear unabhängig werden, weil sie nicht parallel bzw. gleich sind und somit nicht mehr einen Nullvektor ergeben können? - auf einer Gerade mit Schnittpunkt alle Vektoren außer "AB, u und v" linear unabhängig sind, weil "AB, u und v" in einer Ebene sind und unter sich den Nullvektor ergeben könnten? - auf einer windschiefen Gerade alle Vektoren unabhängig sind? Kann man also zusammenfassen: 1) bei 2 Vektoren, müssen sie entweder identisch oder parallel sein, ansonsten linear unabhängig 2) bei drei Vektoren müssen sie auf einer Ebene liegen, ansonsten linear unabhängig 3) Wie sieht es bei mehr als 3 Vektoren aus? Wie ist der Begriff der Base zu verstehen? Laut Formelsammlung, sind alle "Paare" oder "Tripel" linearer unabhängiger Vektoren Basen. Wieso belässt man es nicht einfach bei lin. unabhängigen Vektoren? Was ist der Sinn von Basen? Zudem verstehe ich folgenden Satz nicht ganz: Zwei Ebenen sind dann parallel zueinander, wenn {a,b} und {c,d} Basen desselben Vektorraums sind. Kann das jemand erläutern? |
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| 12.08.2008, 22:25 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Lineare Unabhängigkeit + Basen Hier gehen eben LinA und AnaGeo ineinander über. Bleiben wir erstmal bei linA. Man betrachtet lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen. Vektorräume können unendlich viele Elemente haben, aber doch (oft) durch endlich viele erzeugt werden. Sind diese Elemente linear unabhängig, so sprechen wir von einer Basis des Vektorraums. Linear unabhängig ist wie gepostet definiert. In Worten "nur trivial zum Nullvektor kombinierbar". Nun kennen wir Vektorräume mit Dimension n oder sogar unendlicher Dimension. Wenn du nun wie auf dem Zettel anschaulich arbeiten willst, werden wir uns wohl nur in 2D oder 3D bewegen? |
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| 13.08.2008, 16:11 | waynejuckts147 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hmm, demnach würde diese kleine Zusammenfassung stimmen? Ja, oder Nein? 1) bei 2 Vektoren, müssen sie entweder identisch oder parallel sein, ansonsten linear unabhängig 2) bei drei Vektoren müssen sie auf einer Ebene liegen, ansonsten linear unabhängig Wie sieht das ganze denn nun aus, wenn wir eine n-Dimension haben? Würde mich interessieren... |
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| 13.08.2008, 22:03 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Problem ist nun, dass du den Vektorraum (LinA) anschaulich darstellen willst. In der LinA will man das meist eher vermeiden. 
Da ich nun nicht aufführen möchte, was man dort unter der Koordinatenschreibweise von Vektoren versteht,rate ich nur einmal davon ab, aus der anschaulichen Geometrie die Definitionen der LinA bestimmen zu wollen.Gehen wir nun aber in geometrische Gebilde und ihre Darstellungsformen.
Nimm einen der Vektoren heraus. Beliebig. alle anderen lassen sich als Vielfaches von diesem Darstellen, somit sind sie paarweise nicht trivial zum Nullvektor kombinierbar und damit linear abhängig. Der Fall bei parallel und nicht identisch argumentiert sich genauso. Denn in der LinA versehen wir Vektoren nicht mit einen "Startpunkt" von dem aus wir sie Zeichnen. Die "Visualisierungen" die du gemacht hast sind dann Repräsentanten des in der LinA identischen Vektors, der nur salopp gesagt nur die "Richtung" enthält,aber nicht den Startpunkt. Ausnahme bildet der Vektor AB, denn dieser ist nun nicht mehr durch u oder v darstellbar. Ferner wundert es mich in deiner Tabelle,warum du nur 2er Pärchen gebildet hast. Gerade bei 1 gehören alle in eine Zeile geschrieben. |
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