Fourierkoeffizienten vom Dirac

13.08.2008, 14:26

snapdragon

Fourierkoeffizienten vom Dirac

Hallo zusammen!

Habe hier ne alte Klausuraufgabe, wo ich nicht weiter komme, bzw. mal nen Tipp bräuchte!

"Wir betrachten $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [-\pi ,\pi ] \end{eqnarray*}$ .
Berechnen Sie die komplexen Fourier - Koeffizienten $\begin{eqnarray*} c_{i} \end{eqnarray*}$ und die reellen Fourier - Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_{i} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{i} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ , jeweils für das Intervall $\begin{eqnarray*} [-\pi ,\pi ] \end{eqnarray*}$ .
Geben Sie die zugehörige Fourier-Reihe in komplexer und reeler Form an."

Was ich weiß ist:

$\begin{eqnarray*} \delta (t)=\begin{cases} 0 & t\ne 0\\\infty & t=0\end{cases} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty }^{\infty }~\delta(t)~dt =1 \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich das an? Kann da doch nicht die normale $\begin{eqnarray*} c_{i} \end{eqnarray*}$ Formel benutzen, oder???

13.08.2008, 16:30

cst

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RE: Fourierkoeffizienten vom Dirac
Doch, du kannst einfach die $\begin{eqnarray*} c_i \end{eqnarray*}$ -Formel benutzen. Was du noch brauchst, ist folgende Eigenschaft der Deltafunktion:

$\begin{eqnarray*} \int_{ \alpha}^\beta f(x)\,\delta (x-a)\,\mathrm{d}x=f(a),\ \text{falls}\ \alpha < a < \beta \end{eqnarray*}$ ,

in Worten: Integral über f*delta = f, genommen an der Nullstelle der Deltafunktion, falls die Nullstelle zwischen den Integrationgrenzen liegt.

lg
cst

15.08.2008, 15:42

snapdragon

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Jo, das war n guter Tip!
Habe damit folgende Werte:

$\begin{eqnarray*} c_i = \frac{1}{2\pi } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_i =\frac{1}{\pi } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_i=0 \end{eqnarray*}$ , da die Delta Funktion eine gerade Funktion ist.

Dazu soll man die Fourier Reihe in komplexer und in reeller Form angeben.

Die sieht meiner Meinung nach so aus:

komplex:
$\begin{eqnarray*} FR(t)=\sum_{i=-\infty }^\infty ~\frac{1}{2\pi}*e^{jiw_0t} \end{eqnarray*}$

reell:
$\begin{eqnarray*} FR(t)=\frac{1}{2\pi}+\sum_{i=1 }^\infty ~\frac{1}{\pi}*cos(iw_0t) \end{eqnarray*}$

Nun ist die Aufgabe b) ein Problem:

Sei $\begin{eqnarray*} \delta_N \end{eqnarray*}$ das komplex Fourier Polynom zu der Reihe aus a) (also Fourier Reihe abschneiden bei N). Weisen Sie nach, dass

$\begin{eqnarray*} \delta_N(t)=\frac{sin((N+0.5)t)}{sin(0.5t)} \end{eqnarray*}$

Hinweis: Fourier Summe aus a) mit folgender Formel (die nicht hergeleitet werden braucht)
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=-N}^N~x^i=\frac{x^{-N}-x^{N+1}}{1-x} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\neq 1 \end{eqnarray*}$ benutzen und mit $\begin{eqnarray*} e^{-0.5jt} \end{eqnarray*}$ erweitern.

Hat jemand nen Tip???

15.08.2008, 16:13

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Zitat:

Original von snapdragon
Sei $\begin{eqnarray*} \delta_N \end{eqnarray*}$ das komplex Fourier Polynom zu der Reihe aus a) (also Fourier Reihe abschneiden bei N).

Falls du damit $\begin{eqnarray*} FR(t) \end{eqnarray*}$ , abgeschnitten bei Summand N meinst: Da stimmt was nicht, denn zwischen der Formel und der nachzuweisenden

Zitat:

Original von snapdragon
$\begin{eqnarray*} \delta_N(t)=\frac{sin((N+0.5)t)}{sin(0.5t)} \end{eqnarray*}$

besteht eine Diskrepanz im Vorfaktor: Bei FR(t) ist das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\pi} \end{eqnarray*}$ , hier dagegen fehlt dieser Vorfaktor (d.h., er ist gleich Eins). Schau nochmal genau nach, bei Fouriertransformation gibt es da unterschiedliche Herangehensweisen, wo man diesen Vorfaktor hinpackt...

Abgesehen davon: Du hast die Formel von $\begin{eqnarray*} \delta_N(t) \end{eqnarray*}$ ja schon, musst sie also nicht entwickeln, sondern "nur" noch nachweisen. Und da bietet sich u.a. vollständige Induktion an.

Ohne vollständige Induktion geht es auch mit der Summenformel einer geometrischen Folge. Da sollte man allerdings einen kleinen Zusatztrick anwenden, sonst wird die Formelei etwas eklig lang. Augenzwinkern

16.08.2008, 16:20

WebFritzi

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@Arthur: Wo ist das Problem? Es gilt doch

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=-N}^N e^{ikx} = \frac{\sin((N+\frac{1}{2})x)}{\sin(x/2)}. \end{eqnarray*}$

EDIT: Hab das Problem jetzt erkannt. Es gilt nämlich

$\begin{eqnarray*} \delta_N(t) = \sum_{k=-N}^N c_k e^{ikt} = \sum_{k=-N}^N \frac{1}{2\pi} e^{ikt} =\frac{\sin((N+\frac{1}{2})x)}{2\pi\sin(x/2)}. \end{eqnarray*}$

16.08.2008, 21:01

snapdragon

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Das macht mir das alles schon n bissl klarer, aber wie verwende ich den Hinweis???

17.08.2008, 22:15

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=-N}^N e^{ikt} = \sum_{k=-N}^N \left(e^{it}\right)^k. \end{eqnarray*}$

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