Gamma-Funktion: Grundlagenfragen

13.08.2008, 15:46

Gargy

Gamma-Funktion: Grundlagenfragen

Hallo,

ich habe ein paar Fragen zur Gammafunktion. Ist doch recht viel geworden, bitte nicht abschrecken lassen. Wäre nett, wenn mal jemand drüber schaut.

Ich habe mir die Darstellung nach Gauß und mit der Eulerkonstanten angeschaut.

Meine erste Frage wäre jetzt:
Wie kann man eine Funktionenfolge konstruieren, die gegen die Darstellung der Gammafunktion strebt? Gibt es so etwas überhaupt?

Und weiter möchte ich die analytische Fortsetzung auf die Gammafunktion anwenden. Dazu habe ich folgendes:

1. induktiver Beweis (aber der gilt nur für reelle Zahlen, oder?): Besteht darin, dass man durch partielle Integration zeigen kann, dass

$\begin{eqnarray*} \Gamma (n+1) = n \cdot \Gamma(n) \end{eqnarray*}$

und dann

$\begin{eqnarray*} \Gamma(x+1) =x \cdot (x-1) ... 1 \cdot \Gamma(1) \end{eqnarray*}$

2. im Komplexen: gesucht ist eine Funktion $\begin{eqnarray*} g(z) = \frac{1}{\Gamma(z)} \end{eqnarray*}$ , die an den Polstellen von $\begin{eqnarray*} \Gamma(z) \end{eqnarray*}$ Nullstellen hat. Dazu macht man den Ansatz

$\begin{eqnarray*} g(z) = e^{h(z)} z~ \prod_{k=1} ^{\infty} \left [ \left (1+\frac{z}{k} \right ) e^{-z/k} \right ] \end{eqnarray*}$

mit
$\begin{eqnarray*} h(z) = \gamma z \end{eqnarray*}$

mit
$\begin{eqnarray*} \gamma = \lim_{n \to \infty} \left ( \sum_{k=1} ^n \frac{1}{k} - log ~n\right ) \end{eqnarray*}$

Ist das soweit brauchbar oder nicht genau genug?

Und zu guter letzt wüsste ich gern, an welcher Stelle ich den Identitästsatz für analytische Funktionen (Eine im Gebiet analytische Funktion ist vollständig bestimmt durch ihre Werte auf Teilmengen, die einen Häufungspunkt im Gebiet haben) auf die $\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ - Funktion anwenden kann.

Ihr würdet mir sehr weiter helfen.

13.08.2008, 19:27

Gargy

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Zu lang? Soll ich was kürzen?

13.08.2008, 19:41

Dual Space

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RE: Gamma-Funktion: Grundlagenfragen

Zitat:

Original von Gargy
Meine erste Frage wäre jetzt:
Wie kann man eine Funktionenfolge konstruieren, die gegen die Darstellung der Gammafunktion strebt? Gibt es so etwas überhaupt?

$\begin{eqnarray*} f_n(x)=\Gamma(x)+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Was du da mit der Fortsetzung machen willst ist mir schleierhaft. Die Gammafunktion ist doch bereits für komplexe Zahlen (mit positivem Realteil) definiert. Wohin willst du also fortsetzen?

13.08.2008, 21:06

Gargy

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RE: Gamma-Funktion: Grundlagenfragen

Zitat:

Original von Dual Space
Was du da mit der Fortsetzung machen willst ist mir schleierhaft. Die Gammafunktion ist doch bereits für komplexe Zahlen (mit positivem Realteil) definiert. Wohin willst du also fortsetzen?

Ach so? Ähm, ja, weiß ich nicht so genau. Also ich hatte es so verstanden:

$\begin{eqnarray*} \Gamma (z) = \int_0 ^{\infty} t^{z-1}e^{-t} ~dt \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} Re(z) >0 \end{eqnarray*}$

Analytische Fortsetzung ist gesucht für ein Gebiet

$\begin{eqnarray*} G:= \mathbb{C} \setminus { \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$

so das die Funktionalgleichung

$\begin{eqnarray*} \Gamma(z+1)=z \cdot \Gamma(z) \end{eqnarray*}$

gültig bleibt.

Weil die Gammafunktion gibts doch auch für negative Realteile von z, so wie hier

Oder versteh ich da was falsch?

13.08.2008, 21:13

Dual Space

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RE: Gamma-Funktion: Grundlagenfragen
Was willst du genau machen?

13.08.2008, 21:20

Gargy

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Ich wollte mir das Thema aneignen für meine Prüfung Tränen

Ich möchte die Funktionalgleichung der Gammafunktion analytisch fortsetzen.

Ich dachte, damit meint man, dass man sie fortsetzt für Zahlen z, die in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ liegen, aber eben nicht die Nullstellen von diesem G(z) sind. Also gesamt $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ohne 0, -1, -2, -3

13.08.2008, 21:21

system-agent

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RE: Gamma-Funktion: Grundlagenfragen

Zitat:

Original von Gargy
Analytische Fortsetzung ist gesucht für ein Gebiet

$\begin{eqnarray*} G:= \mathbb{C} \setminus { \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$

Was soll das für ein Gebiet sein?

Schau auch mal hier.

13.08.2008, 21:26

Gargy

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Das soll die gesamte komplexe Zahleneben sein ohne die 0, -1, -2, -3... eben die Nullstellen von G(z) bzw. die Polstellen der Gammafunktion.

Danke für den Link, guck gleich mal rein.

13.08.2008, 21:31

system-agent

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Zitat:

Original von Gargy
Das soll die gesamte komplexe Zahleneben sein ohne die 0, -1, -2, -3... eben die Nullstellen von G(z) bzw. die Polstellen der Gammafunktion.

OK, nur das was du mit $\begin{eqnarray*} G=\mathbb C\setminus\mathbb N \end{eqnarray*}$ hinschreibst ist ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ohne $\begin{eqnarray*} 0,1,2,3,... \end{eqnarray*}$ [bzw. auch ohne Null].

So wie das bei Wolfram steht, ist $\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ überall holomorph, wenn man von den Polstellen absieht. Also bleibt nichts weiter fortzusetzen.

13.08.2008, 21:38

Gargy

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Ach so

da hätte natürlich ein Minus oder sowas vor das N gehört. Na klar.

Ok, also kann es dann vielleicht sein, dass man die Gammafunktion anschaulich erstmal nur für >0 einführt und dann, um da noch irgendwas mit zu machen eben fortsetzt, um zu zeigen, dass es überall holomorph ist?

Oder anders: Es ist überflüssig, aber nicht notwendig falsch, was ich mir da zusammen gesucht habe?

13.08.2008, 21:47

system-agent

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Ich kann dir zu $\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ nicht fürchterlich viel erzählen, ausser das was mir der Link bei Wolfram erzählt.
Da scheint es, dass für $\begin{eqnarray*} Re(z)>0 \end{eqnarray*}$ man eine Darstellung
$\begin{eqnarray*} \Gamma(z)=\int\limits_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}~\dd t \end{eqnarray*}$
hat.

Zum Vergleich:
Man definiert die $\begin{eqnarray*} \zeta \end{eqnarray*}$ -Funktion zunächst als
$\begin{eqnarray*} \zeta(z)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^z} \end{eqnarray*}$
Das geht nur für $\begin{eqnarray*} Re(z)>1 \end{eqnarray*}$ (weil sonst die Reihe Probleme macht). Aber man kann $\begin{eqnarray*} \zeta \end{eqnarray*}$ auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb C\setminus\{1\} \end{eqnarray*}$ holomorph fortsetzen.
Das heisst aber dass man für $\begin{eqnarray*} Re(z)>1 \end{eqnarray*}$ immer obige Darstellung nutzen kann !

13.08.2008, 21:51

Gargy

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Ok, danke. Das klingt ja irgendwie äquivalent. Der Link ist übrigens super.

Vielleicht stolpert ja noch jemand über den Beitrag hier. Aber da die Geschichte ja zumindest nicht total falsch scheint, denke ich, dass wir die Geschichte nur extra seicht serviert bekommen habe. Big Laugh

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