Induktionsbeweis

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14.08.2008, 13:18	Mathe_2010?	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktionsbeweis Hallo, Ich habe mal versucht, eine explizite Darstellung für Sn= $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~\frac{k}{n} \end{eqnarray}$ zu finden und bin dann auf den linearen Zusammenhang Sn=0.5n+0.5 gekommen (was durch errechnen der ersten Glieder offensichtlich wurde) Aber wie kann ich dies jetzt eigentlich induktiv beweisen? ich lasse mal den langweiligen Induktionsanfang weg: Iinduktions-Voraussetzung: Sn=0.5n+0.5 Induktions-Behauptung: Sn+1=0,5(n+1)+0,5= ??? Womit muss ich denn hier gleichsetzen, um es auf eine wahre Aussage zu führen?
14.08.2008, 13:40	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist wohl einfacher die äquivalente Formulierung $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray}$ induktiv zu beweisen.
14.08.2008, 13:47	Mathe_2010?	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm...wieso ist das die äquivalente Formulierung? Wenn ich bei mir bspw. für n=2 einsetze, erhalte ich 1.5 bei dir 3... ???
14.08.2008, 13:48	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann schau doch nochmal genau hin.
14.08.2008, 13:50	Mathe_2010?	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich raffs nich... Tut mir Leid
14.08.2008, 13:51	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Behauptung: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n} = \frac{n+1}{2} \end{eqnarray}$ Ich behaupte: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray}$ Die Äquivalenz ist doch offensichtlich.
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14.08.2008, 13:53	Mathe_2010?	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja jetzt seh ichs auch... Aber trotzdem weiß ich nicht, womit ich gleich setzen soll...
14.08.2008, 13:55	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Was willst du denn jetzt machen? Also welche Formulierung willst du beweisen? Ich würde ja meine empfehlen, da du wohl noch nicht sehr viel Erfahrung mit Induktionsbeweisen hast und wenn das n in der Summe nicht mehr vorkommt, ist es einfacher die Induktionsvoraussetzung anzuwenden.
14.08.2008, 13:59	Mathe_2010?	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich frage mich jetzt aber, ob man überhaupt einfach so mit n multiplizieren darf, denn das ist ja immerhin in dem Summenzeichen "gefangen".
14.08.2008, 14:00	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Distributivgesetz sollte man an einer Hochschule doch kennen. Bei einer endlichen Summe gibts da gar keine Probleme.
14.08.2008, 14:07	Mathe_2010?	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach Mist, stimmt! Und womit setze ich nun deine Formulierung gleich?
14.08.2008, 14:09	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du die ganze Zeit auf gleichsetzen? Hast du schonmal einen Induktionsbeweis geführt? Du nimmst die Richtigkeit von $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray}$ an und folgerst daraus: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n+1}k=\frac{(n+1)(n+2)}{2} \end{eqnarray}$ .
14.08.2008, 14:13	Mathe_2010?	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich muss doch zeigen, das dies wahr ist: Sn+1=(n+1)(n+2)*1/2 Aber wenn ich nich weiß, was ich mit Sn+1 machen soll?
14.08.2008, 14:16	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Drücke $\begin{eqnarray} S_{n+1} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ aus.
14.08.2008, 14:18	Mathe_2010?	Auf diesen Beitrag antworten »
Dazu brauch ich die Rekursivform. Also Sn+1=Sn+n+1 Heißt das, bei solchen Induktionsbeweisen muss man immer die Rekurive Vorschrift zu Hilfe nehmen?
14.08.2008, 14:19	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Was heißt schon immer...Aber desöfteren kommt man damit zum Ziel.
14.08.2008, 14:53	Mathe_2010?	Auf diesen Beitrag antworten »
Na ja vielen Dank für deine Hilfe! Du bist 18... machst du bald Abitur?
14.08.2008, 15:19	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Joa, ich wills doch hoffen. Ist die Aufgabe denn nun gelöst?
14.08.2008, 16:11	Mathe_2010?	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, den Rest konnte ich mir dann zusammenspinnen Noch mal Danke!

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