Quadratische Nichtreste

14.08.2008, 14:40

Lutanic

Quadratische Nichtreste

Hallo zusammen,
ich wollte mal Fragen ob folgender zusammenhand allgemein gilt:

$\begin{eqnarray*} a^{\frac{p-1}{2}} = -1 \end{eqnarray*}$

wobei p eine Primzahl und a ein Quadratischer Nichtrest mod p ist.

Wenn das der Fall sein sollte wäre eine kurze erklärung ganz nett.

Gruß Lutanic

14.08.2008, 14:49

Dual Space

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RE: Quadratische Nichtreste
Was ist denn ein "Nichtrest"? verwirrt

14.08.2008, 15:11

Lutanic

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A ist ein quadratischer Nichtrest wenn a kein quadratischer Rest ist.

Ein Quadratischer Rest wiederum ist folgenermaßen definiert:
$\begin{eqnarray*} c \in {\mathbb Z}{_n^{*}} \end{eqnarray*}$ wird Quadratischer Rest modulo n genannt, wenn ein $\begin{eqnarray*} x \in {\mathbb Z}{_n^{*}} \end{eqnarray*}$ gibt, so dass gilt $\begin{eqnarray*} x^{2} \equiv \end{eqnarray*}$ c (mod n)

14.08.2008, 15:24

system-agent

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Edit: $\begin{eqnarray*} l^2=-1 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} l^2\equiv-1\mod p \end{eqnarray*}$ geändert !

Es gibt einen Satz:

Sei $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ eine Primzahl, dann gilt:
$\begin{eqnarray*} p\equiv1\mod 4\Leftrightarrow\exists l\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} l^2\equiv-1\mod p \end{eqnarray*}$

14.08.2008, 15:46

kiste

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Zitat:

Original von system-agent
Es gibt einen Satz:

Sei $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ eine Primzahl, dann gilt:
$\begin{eqnarray*} p\equiv1\mod 4\Leftrightarrow\exists l\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} l^2=-1 \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht welchen Satz du meinst aber so kann es nicht stimmen.
Es gibt ein p, nämlich p=5, aber eine ganze Zahl l mit l^2=-1 gibt es nicht.

14.08.2008, 15:50

system-agent

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Zitat:

Original von kiste
Ich weiß nicht welchen Satz du meinst aber so kann es nicht stimmen.
Es gibt ein p, nämlich p=5, aber eine ganze Zahl l mit l^2=-1 gibt es nicht.

In $\begin{eqnarray*} \mathbb F_5 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} 2^2=4=-1 \end{eqnarray*}$ .

14.08.2008, 16:26

kiste

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Das meinte ich, es stand nichts dabei das die Gleichung dann in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_p \end{eqnarray*}$ zu lesen ist

14.08.2008, 16:32

system-agent

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Danke für den Hinweis, ich editiere das !

14.08.2008, 16:39

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Zitat:

Original von system-agent
Sei $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ eine Primzahl, dann gilt:
$\begin{eqnarray*} p\equiv1\mod 4\Leftrightarrow\exists l\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} l^2\equiv-1\mod p \end{eqnarray*}$

Inwiefern hängt das mit der Frage von Lutanic zusammen? Ist mir nicht so ganz schlüssig, kannst du da etwas mehr verraten?

14.08.2008, 17:23

system-agent

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Oh man, tut mir leid, war nicht ganz auf der Höhe, wollte dazu schreiben, dass er sich den Beweis dieses Satzes ansehen soll. Aber OK:

Zuerst: Für jedes $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb F_p \end{eqnarray*}$ gilt immer
$\begin{eqnarray*} a^{\frac{p-1}{2}}=1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a^{\frac{p-1}{2}}=-1 \end{eqnarray*}$
In $\begin{eqnarray*} \mathbb F_p \end{eqnarray*}$ gibt es genau $\begin{eqnarray*} \frac{p-1}{2} \end{eqnarray*}$ Quadrate. Nun nehme das Polynom $\begin{eqnarray*} f(X)=X^{\frac{p-1}{2}}-1 \end{eqnarray*}$ . Das hat in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_p \end{eqnarray*}$ höchstens wie viele Nullstellen?

14.08.2008, 18:04

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Das macht schon eher Sinn.

Denn "nur" die von dir angegebene Satzaussage verzweigt von hier ab in eine andere Richtung, als die die Lutanic nützt. Augenzwinkern

14.08.2008, 18:18

system-agent

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Ja, ohne Hinweis auf den Beweis ist der Beitrag nutzlos... Naja, lief neben der Kappe Augenzwinkern

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