Koordinatentransformation

15.05.2006, 13:01	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Koordinatentransformation Hi Ich habe zwei Basen des R³ gegeben, welche ich nun durch eine entsprechende Basiswechsel-Matrix M(Id) in die jeweils andere Basis transformieren soll. A= Standardbasis des R³ $\begin{eqnarray} B= \{ \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 7 \\ -12 \\ 0 \end{pmatrix}\} \end{eqnarray}$ Besteht die Transformationsmatrix (1) zum Baiswechsel von A nach B nicht einfach aus den Spaltenvektoren von B ? Entspricht die Transformationsmatrix (2) zum Baiswechsel von B nach A nicht einfach der Inversen von B ? Ferner ist noch eine Abbildung f : R³ --> R³ durch $\begin{eqnarray} M(f)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ zur Standardbasis A gegeben Gesucht ist nun M(f) zur Basis B. Muss ich da nur M(f) zur Basis A mit der Transformationsmatrix (1) verknüpfen? Wäre nett wenn mir da jemand helfen könnte. Gruß Björn
15.05.2006, 17:40	navajo	Auf diesen Beitrag antworten »
Huhu! Das erste solle alles passen. Also das bezüglich der Transformation zwischen der Basis A und B. Also zu deinem M(f): Da gilt dann $\begin{eqnarray} M(f)=T^{-1}M(f)'T \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ deine Transformationsmatrix und $\begin{eqnarray} M(f)' \end{eqnarray}$ dein $\begin{eqnarray} M(f) \end{eqnarray}$ in der anderen Basis sein soll. Das ist halt so weil du wenn du dein $\begin{eqnarray} M(f)' \end{eqnarray}$ auf irgendnen x zur Basis A anwenden willst, dann musst erst das x mit T in die Basis vom M(f)' transformieren, dann kannste M(f)' anwenden und dann musst nochmal wieder zurücktransformieren damit du wieder in dem Raum bist wo du herkommst
17.05.2006, 03:12	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort und tut mir leid, dass ich mich erst so spät melde. Also ich habe M(f) zur Basis B konstruiert, indem ich jeden Spaltenvektor der Matrix M(f) zur Standardbasis A als Linearkombination der Basisvektoren von B dargestellt habe und das jeweilige Lösungstripel als Spaltenvektor der gesuchten Matrix M(f) zur Basis B angesehen habe. Kommt das so hin oder ist das Blödsinn? Mein Ergebnis lautet: $\begin{eqnarray} M(f)=\begin{pmatrix} 35/11 & 28/11 & -3 \\ 23/11 & 14/11 & 0 \\ 5/11 & 4/11 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Gruß Björn
17.05.2006, 03:45	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast (etwas komplizierter) nur eine der von navajo dargestellten Matrixmultiplikationen durchgeführt. D.h. in deine Matrix kann man Vektoren bzgl. A eingeben und kriegt das Bild (Abbildung f) bzgl. B heraus. Nun will man aber Vektoren bzgl. B eingeben, nicht bzgl. A. Dafür ist gerade die andere Matrixmultiplikation. (Versuch mal es dir mit "Eingabe und Ausgabe von Vektoren" vorzustellen, vielleicht hilft das) Gruß vom Ben
01.07.2006, 21:43	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
So, um diesen Thread hier mal ordentlich zu Ende zu bringen : Auf navajo bezugnehmend: Wegen $\begin{eqnarray} M(f)=S^{-1}M(f')S \end{eqnarray}$ gilt durch entsprechende Matrizenmultiplikationen $\begin{eqnarray} M(f')=SM(f)S^{-1} \end{eqnarray}$ Daher sollte also bei der Aufgabe als gesuchte Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2 & 2 & 7 \\ 4 & -3 & -12 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}\cdot \frac{1}{11}\begin{pmatrix} 24 & 14 & -3 \\ 12 & 7 & 4 \\ 5 & 2 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ herauskommen (das will ich aber nicht ausrechnen ) Als Wiederholungsaufgabe habe ich nochmal sowas ähnliches gehabt: Sei $\begin{eqnarray} B=\{ v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} , v_2=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray}$ Sei T: R^2 --> R^2 die lineare Abbildung mit $\begin{eqnarray} T(v_1)=v_1+v_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} T(v_2)=v_1-2v_2 \end{eqnarray}$ Jetzt soll man die Matrix von T bezüglich der Standardbasis berechnen. Also ergibt sich doch hier die gesuchte Matrix aus $\begin{eqnarray} \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ -1 & -4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wäre nett, wenn mir jemand meine Ergebnisse bestätigen bzw. kritisieren könnte. Gruß Björn
11.02.2007, 14:39	rakize	Auf diesen Beitrag antworten »
hab sone ähnliche aufgabe, bin nun bissel verwirrt wie hat man $\begin{eqnarray} \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ herausbekommem, wäre nett kurz zu erklären
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