Eigenwert 4x4 Matrix

15.05.2006, 14:04

someone

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Eigenwert 4x4 Matrix

Hallo,
ich versuche geraden den ganzen vormittag eine Gleichung vierten Grades zu lösen und komme auf keinen grünen Zweig.

Die Aufgabe lautet das zur Matrix A
0 0 0 1
1 0 0 2
0 1 0 0
0 0 1 -2

Die Eigenwerte bestimmt werden sollen.

Gut, das charakteristische Polynom lautet:
0=Det(a-Ex)= -x^4 + 2x^3 + 1

Offensichtlich ist eine Nullstelle = -1

Und laut Graphen den ich mir online habe zeigen lassen ist die zweite Nullstelle etwa -1,7.

Aber wie löse ich das? Ich komme einfach nicht vorran, habe es mit Wikipedia versucht und Binomi F+H.

Kann mir da bitte jemand helfen?

15.05.2006, 14:06

Dual Space

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RE: Eigenwert 4x4 Matrix
Substituiere $\begin{eqnarray*} u:=x^3 \end{eqnarray*}$ . Wink

Wink

Edit: Hab grad gesehen, dass du bereits eine Nullstelle eraten hast. Dann bietet sich natürlich eine Polynomdivision an. Falls du dich jetzt fragst wieso: http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzelsatz_von_Vieta

15.05.2006, 14:14

someone

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gut:
$\begin{eqnarray*} 0=u \cdot \sqrt[3]{u} +2u+1 \end{eqnarray*}$

und dann?

15.05.2006, 14:20

Dual Space

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Ohh ... Asche auf mein Haupt! Forum Kloppe

Forum Kloppe

Vergiss die Substitution mal wieder. Sorry! Aber das mit der Polynomdivision sollte klappen!

15.05.2006, 14:31

klarsoweit

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RE: Eigenwert 4x4 Matrix

Zitat:

Original von someone
Gut, das charakteristische Polynom lautet:
0=Det(a-Ex)= -x^4 + 2x^3 + 1

Bist du sicher? Ich habe ein anderes raus.

15.05.2006, 14:31

someone

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grummel!

Damit komme ich auch nicht weiter.

erstens bleibt mir ein Rest von 2 bei der Polynomdivision und zweitens kann ich mit dem Ergebnis bis dahin auch nicht so recht etwas anfangen: x^3+x^2-x-1

Habe ich was falsch gemacht?

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15.05.2006, 14:34

klarsoweit

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Kannst du mal die Berechnug von dem char. Polynom hinschreiben?

15.05.2006, 14:37

someone

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stimmt das char. Polynom ist:
x^4+2x^3-1

15.05.2006, 14:39

klarsoweit

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Tut mir leid. Ich habe immer noch etwas anderes.

Im übrigen ist -1 keine Nullstelle von -x^4 + 2x^3 + 1.
Aber das ist jetzt eh obsolet. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.05.2006, 14:41

someone

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ch. polynom:
(-x)*(-x^2)*(-2-x)-1=x^4+2x^3-1

15.05.2006, 14:44

klarsoweit

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Zitat:

Original von someone
(-x)*(-x^2)*(-2-x)

Diesen Teil kann ich nicht nachvollziehen.

Die Rechnung beginnt doch mit:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -x & 0 & 0 & 1 \\ 1 & -x & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -x & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2-x \end{vmatrix} = -x \cdot \begin{vmatrix} -x & 0 & 2 \\ 1 & -x & 0 \\ 0 & 1 & -2-x \end{vmatrix} - 1 \end{eqnarray*}$

15.05.2006, 14:50

AD

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Ohne ausführliche Darlegung des Rechenwegs ist das auch nicht zu verstehen. someone, du hast dich irgendwo verrechnet - zur Kontrolle: Das charakteristische Polynom ist $\begin{eqnarray*} x^4+2x^3-2x-1 \end{eqnarray*}$ .

15.05.2006, 14:57

someone

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also der Teil (-x)*(-x^2)*(-2-x)+2 ist der erste Teil der Matrizen berechnung, dann gehe ich nach der oberen Zeile.
-0*Det =0
0*Det=0
-1+Det(3x3 links unten in der Ecke)=-1

Habe korregiert:
(-x)*(-x^2)*(-2-x)+2-1= (x^3)*(-2-x)+1
=-x^4-2x^3+1

das muss es jetzt aber sein.

15.05.2006, 15:06

someone

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Die Rechnung beginnt doch mit: (stimme ich zu)
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -x & 0 & 0 & 1 \\ 1 & -x & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -x & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2-x \end{vmatrix} &=& -x \cdot \begin{vmatrix} -x & 0 & 2 \\ 1 & -x & 0 \\ 0 & 1 & -2-x \end{vmatrix} - 1\\<br /> &=& -x^{3} \cdot (-2-x)+2-1 \\<br /> &=& x^{4}-2x^{3}+1 \end{eqnarray*}$ [/quote]

Langsam bin ich echt verwirrt hiermit, also hier die Rechnung.

15.05.2006, 15:08

someone

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Ahh! jetzt sehe ich es!

Zitat:

Original von someone
Die Rechnung beginnt doch mit: (stimme ich zu)
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -x & 0 & 0 & 1 \\ 1 & -x & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -x & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2-x \end{vmatrix} &=& -x \cdot \begin{vmatrix} -x & 0 & 2 \\ 1 & -x & 0 \\ 0 & 1 & -2-x \end{vmatrix} - 1\\<br /> &=& -x^{3} \cdot (-2-x)+2-1 \\<br /> &=& x^{4}-2x^{3}+2x-1 \end{eqnarray*}$

[/quote]

15.05.2006, 15:10

klarsoweit

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Irgendwo rechnest du was falsch. Ich rechne so:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -x & 0 & 0 & 1 \\ 1 & -x & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -x & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2-x \end{vmatrix} = -x \cdot \begin{vmatrix} -x & 0 & 2 \\ 1 & -x & 0 \\ 0 & 1 & -2-x \end{vmatrix} - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x \cdot (-x \cdot (2x+x^2) +2) - 1 \end{eqnarray*}$

15.05.2006, 15:13

someone

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Und dann war da noch ein Vorzeichenfehler!

Zitat:

Original von someone
Ahh! jetzt sehe ich es!

Zitat:

Original von someone
Die Rechnung beginnt doch mit: (stimme ich zu)
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -x & 0 & 0 & 1 \\ 1 & -x & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -x & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2-x \end{vmatrix} &=& -x \cdot \begin{vmatrix} -x & 0 & 2 \\ 1 & -x & 0 \\ 0 & 1 & -2-x \end{vmatrix} - 1\\<br /> &=& x^{4}+2x^{3}-2x-1 \end{eqnarray*}$

[/quote]

Aber jetzt stehe ich schon wieder vor dem Polynom vierten Grades

15.05.2006, 15:16

klarsoweit

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Jetzt kannst du aber eine Lösung raten und Polynomdivision machen.

15.05.2006, 15:38

someone

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die erste geratene Nullstelle ist 1
die Polynomdivision:
(x^4+2x^3-2x^2-1)/(x-1)=x^3+3x^2-3x+1

Ich verstehe aber noch nicht wie ich das Ergebnis bezüglich meiner Nullstellen interpretieren soll.

15.05.2006, 15:47

klarsoweit

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Ganz einfach: aus einem Polynom 4. Grades wird ein Produkt aus einem Linearfaktor und einem Polynom 3. Grades:
$\begin{eqnarray*} x^4+2x^3-2x-1 = (x^3+3x^2-3x+1) \cdot (x-1) \end{eqnarray*}$

Jetzt mußt du "nur" noch die Nullstellen von x^3+3x^2-3x+1 bestimmen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT: leider ist das Ergebnis der Polynomdivision falsch. Deswegen stimmt vorstehende Gleichung auch nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT2: und außerdem muß es -2x statt -2x² heißen.

15.05.2006, 16:09

someone

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ich konnte nur einen Vorzeichenfehler finden mein polynomergebnis ist:
x^3 + 3x^2 + 3x +1

Wenn ich schon wieder falsch bin, wo bin ich den falsch bzw. was sollte das Ergebnis sein?

Ich kann ein Polynom zweiten Grades lösen, wie löse ich eins driten Grades?

15.05.2006, 16:18

Bjoern1982

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Das stimmt jetzt soweit, nun musst du halt nochmal eine Polynomdivision machen.

Zitat:

(x^4+2x^3-2x^2-1)/(x-1)=x^3+3x^2-3x+1

Hier hattest du dich in deinem vorletzten Post verschrieben, was mich zuerst verwirrte, aber wie gesagt: Dein Term stimmt jetzt.

Gruß Björn

15.05.2006, 16:28

someone

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Uff! ich glaube ich bin raus aus meiner Stelle wo ich mich festgefahren habe.

die x=1 und -1
passt zur Kurve

danke für die Hilfe!

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