Orthogonalbasis

15.05.2006, 15:42	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonalbasis Hi... ich habe folgende Aufgabe: die folgenden Matrizen definieren jeweils durch die Vorschrift: $\begin{eqnarray} (x,y) \mapsto x^TAy \end{eqnarray}$ eine symmetrische Bilinearform auf $\begin{eqnarray} K^n \end{eqnarray}$ . Bestimmen sie eine Orthogonalbasis. Ist die Bilinearform ausgeartet? Ist sie definit? a) $\begin{eqnarray} K = \mathbb R, A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 4 \\ 2 & 2 & 4 \\ 4 & 4 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ so jetzt hab ich das Problem, dass ich nicht weiß wie ich eine Orthogonalbasis bestimmen soll. Das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren funktioniert nicht und ich kann auch nicht behaupten, dass man das durch hinsehen sieht. Dann das mit ausgeartet und mit definit sieht man ja gut anhand der Matrix bezüglich dieser Orthogonalbasis. Da würde ich noch gern wissen, wie transformiere ich meine Matrix zu einer Matrix über der Orthogonalbasis ( vor allem wie sehen die Basiswechselmatrizen aus ? ) dann hab ich noch ne Frage: als zweite Aufgabe sieht die Matrix so aus: b) $\begin{eqnarray} K = \mathbb C, A = \begin{pmatrix} -1 & i \\ i & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ aber dann ist doch die zugehörige Bilinearform nicht symmetrisch oder? - weil die Matrix schon gar nicht symmetrisch ist. danke im Vorraus - Sunwater
15.05.2006, 17:57	navajo	Auf diesen Beitrag antworten »
Huhu! a) Wie das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren funktioniert nicht? Warum denn das denn nicht? Deine Basiswechselmatrizen sehen einfach so aus, dass du da in die Spalten deine Orhogonalbasis reinschreibst. b) Ist ja wohle symmetrisch :P
15.05.2006, 21:52	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
a) - ok, ich dachte ich muss nicht durch die Norm des Vektors teilen, weil ich wollte ja keine Orthonormalbasis sondern nur ne Orthogonalbasis - aber wenn ich nicht durch die Norm des Vektors teile funktioniert das Verfahren nicht. Gibt es ein Verfahren, wo die Länge der Vektoren egal ist? b) - sh*t - klar isses symmetrisch - Anfängerfehler...
15.05.2006, 23:35	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Jede Orthonormalbasis ist auch eine Orthogonalbasis, also wenn du ersteres hast, hast du auch letzteres, da ist Länge 1 nicht verboten 2.Wenn ich mich recht erinnere müsste Gram-Schmidt aber auch funktionieren, wenn du nicht normierst. Rechenfehler?
16.05.2006, 11:04	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
kann sein mit Rechenfehler - aber ich hab's jetzt mit normieren gemacht und da hat's super geklappt - danke nochmal

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