Integral

19.05.2004, 23:15

blindfisch

Integral

Hallo, ich hab ein Integral das ich nicht lösen kann
$\begin{align*} \Bigint~ \frac{1}{1+\cos(x)} ~dx \end{align*}$

Ich hab keine Idee. Wie kann man da anfangen?

19.05.2004, 23:57

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

1. Bruch mit 1-cos x erweitern
2. trigonometrischer Pythagoras im Nenner
3. Bruch/Integral auseinanderziehen
4. erstes Integral ist Grundintegral, im zweiten Integral u=sinx substituieren

20.05.2004, 00:21

SirJective

Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold: Offenbar hast du mehr Übung darin als ich. Bis zum 3. Schritt konnt e ich dir folgen (hatte vorher auch keine Idee), aber $\begin{align*} \int\frac{1}{\sin(x)^2}dx \end{align*}$ kannte ich nicht. Erst mein liebes Irrlicht wies mich darauf hin, dass das ja der negative Cotangens ist. *seufz* was man nicht alles wissen muss...

20.05.2004, 10:08

m00xi

Auf diesen Beitrag antworten »

Leopold ist sowieso ein Freak Gott

20.05.2004, 10:09

blindfisch

Auf diesen Beitrag antworten »

danke!!!
Danke Leopold und SirJective!

Ich hab jetzt -cot(x) + 1/sin(x) raus.
Kann man das Ergebnis noch vereinfachen?

20.05.2004, 10:35

SirJective

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ergebnis hab ich auch raus. Wenn du cot(x) ersetzt durch cos(x)/sin(x), kannst du es zu $\begin{align*} \frac{1-\cos(x)}{\sin(x)} \end{align*}$ vereinfachen. Maple sagt, das stimmt mit $\begin{align*} \tan(\frac{x}{2}) \end{align*}$ überein.

Edit: Irrlicht kann das auch besser als ich!...

Oben die Halbwinkelformel anwenden und unten das Additionstheorem für x/2:
$\begin{align*} \frac{1-\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{2\sin(x/2)^2}{2\sin(x/2)\cos(x/2)} = \tan(x/2) \end{align*}$
Ferdsch.

20.05.2004, 11:39

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Beim Erweitern mit 1 - cos x kommen beim Integranden (hebbare) Definitionslücken dazu. Das Ergebnis ist insofern in einem kleineren Bereich gültig als der ursprüngliche Integrand.
Man kann bei (1 - cos x) / sin x aber wieder mit 1 + cos x erweitern und erhält sin x / (1 + cos x). Dieser Term hat denselben Definitionsbereich wie der ursprüngliche Integrand. Allerdings ist die Herleitung zunächst nur gültig im kleineren Bereich.
F(x) = sin x / (1 + cos x) kann jedoch durch Differenzieren direkt als Stammfunktion von 1 / (1 + cos x) nachgewiesen werden. Insofern ist dieses Ergebnis gültig in jedem reellen Intervall, das kein ungeradzahliges Vielfaches von pi enthält. (Auch bei der tan(x/2)-Variante verschwinden die überflüssigen Definitionslücken.)

20.05.2004, 15:08

Poff

Auf diesen Beitrag antworten »

MEINE Meinung zu dem Ganzen ....
das braucht man 'heut zu tage' ALLES nicht mehr können.

Ist im Prinzip vergeudete Energie und wird in wenigen Jahren
schon kaum wen noch ernsthaft angehen.

Ich fand es schon immer recht unsinnig, sich mit diesen Integrations-
problemen zu befassen und ständig zu versuchen ein schon lange
vorhandenes Rad immer wieder neu zu erfinden.

Ist einfach lächerlich dieses vor allem von Schülern immer und immer
wieder zu verlangen ....

Es gibt ENTSCHIEDEN sinnvollers, das es zu üben gibt, ....

Das gilt AUCH für diese trigonometrischen Umformungen, die
sich zum Teil bis ins 'Unendliche' weitertreiben lassen können ....
Ich weiß wovon ich spreche, habe das mal ziemlich 'perfekt'
beherrscht. Sehe es derweil jedoch als recht idiotisch an sich
damit ernsthaft zu 'belasten' ....

smile

21.05.2004, 12:57

SirJective

Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold:
Da wir nun tan(x/2) als Stammfunktion erkannt haben, fiel mir gestern auf, dass die Herleitung sogar noch verkürzt werden kann:

$\begin{align*} \int\frac{1}{1+\cos(x)}dx = \int \frac{1}{2\cos(x/2)^2}dx = \int\frac{1}{\cos(u)^2}du = \tan(x/2) \end{align*}$

Die anderen Integrale ähnlicher Form, wie
$\begin{align*} \int\frac{1}{1-\cos(x)}dx \end{align*}$ und $\begin{align*} \int\frac{1}{1+\sin(x)}dx \end{align*}$
lassen sich dann lösen, indem man $\begin{align*} 1-\cos(x) = 2\sin(x/2)^2 \end{align*}$ ersetzt (die Stammfunktion ist dann -cot(x/2)) bzw. indem man $\begin{align*} 1+\sin(x) = 1+\cos(x-\pi/2) \end{align*}$ schreibt und dann substituiert (die Stammfunktion ist dann tan(x/2-pi/4)).

22.05.2004, 12:19

BigN

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

kann mir jemand beim Knacken des Integrals ein Paar Tipps geben :

>>> $\begin{align*} \Bigint_{b}^a~sin(x)^2~dx \end{align*}$

thx in adv.

22.05.2004, 12:33

SirJective

Auf diesen Beitrag antworten »

Erster Tip:
Integriere zweimal partiell, dann erhältst du dasselbe Integral wieder und kannst die Gleichung nach diesem Integral aufloesen.

Wenn dir das nicht hilft, dann schreib, warum nicht.

22.05.2004, 12:44

BigN

Auf diesen Beitrag antworten »

ich werde es sofort versuchen, hoffentlich verwechseltse sie nicht mit (sinx)^2

Augenzwinkern

22.05.2004, 12:49

BigN

Auf diesen Beitrag antworten »

SirJective, schreib mal n Bisschen ausfuehrlicher, bitte

was koennte mein u(x), v(x) sein?

22.05.2004, 12:52

SirJective

Auf diesen Beitrag antworten »

Du integrierst $\begin{align*} \int \sin(x) \sin(x)\,dx \end{align*}$ .
Das eine sin(x) ist dein u(x), das andere sin(x) ist dein v(x).
Das eine leitest du ab, das andere integrierst du, so erhaeltst du ein $\begin{align*} \int \cos(x)\cos(x)\,dx \end{align*}$ . Das integrierst du wieder genauso partiell.

22.05.2004, 12:57

BigN

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von SirJective
Du integrierst $\begin{align*} \int \sin(x) \sin(x)\,dx \end{align*}$ .
Das eine sin(x) ist dein u(x), das andere sin(x) ist dein v(x).
Das eine leitest du ab, das andere integrierst du, so erhaeltst du ein $\begin{align*} \int \cos(x)\cos(x)\,dx \end{align*}$ . Das integrierst du wieder genauso partiell.

sin(x) sin(x) das ist sin^2(x)

ich braeuche aber die sin(x)^2

22.05.2004, 13:02

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Der von SirJective beschriebene Weg ist die Standard-Methode. Es geht aber auch über die Formel sin²x = ½·(1 - cos 2x) und einfache lineare Substitution.

@ SirJective
siehe unser tan(½ x)-Problem

22.05.2004, 13:06

BigN

Auf diesen Beitrag antworten »

ich meine die hier

http://www.emath.de/cgi-bin/mimeTeX/mimetex.cgi?\large{ \int \sin(x^2) \, \text{d}x }

22.05.2004, 13:20

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion f(x)=sin(x²) ist nicht elementar integrierbar.
Vielleicht gibst du einmal in einer Internet-Suchmaschine "Fresnelsche Integrale" ein.

22.05.2004, 14:35

BraiNFrosT

Auf diesen Beitrag antworten »

f(x)=sin(x²)

Warum kann man das nicht per Substitution lösen ?

F(x) = - 1/(2x) * cos(x²) mit x != 0

Ist das falsch ?
Grüße vom Brainfrost

/edit : Ja das ist sehr falsch ..... blöder Fehler unglücklich

23.05.2004, 21:57

SirJective

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Der von SirJective beschriebene Weg ist die Standard-Methode. Es geht aber auch über die Formel sin²x = ½·(1 - cos 2x) und einfache lineare Substitution.

@ SirJective
siehe unser tan(½ x)-Problem

Autsch! :P Das sollte mir doch eine Lehre sein.

02.06.2004, 19:59

franky.b

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leute,

ich hab auch die Funktion sin (x²) zu integrieren bzw. näherungsweise die Stammfkt. im Intervall [0,1] zu bestimmen.
Das müsste doch über die Reihenentwicklung gehen (gliedweises Integrieren, natürlich zuerst zeigen, dass die Folgenglieder gleichmäßig konvergieren :bush smile

?
Nur mein Problem ist erstmal, bevor ich irgendwas mache: wie ist die Reihenentwicklung von sin(x²) ?? Ich mein, sin(x) is klar ( sin(x) = (e^(ix)-e^(-ix))/2x ), aber wenn ich sin(x²) hab, kann ich in dieser Formel ja nicht einfach x:=x² setzen??
Anderer Ansatz: Taylorreihe für sin(x²) bestimmen und dann weitersehen...was haltet ihr davon?

Gruß,
Frank

02.06.2004, 21:03

Irrlicht

Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst entweder die Taylorreihe von sin(x^2) bestimmen, oder du bestimmst die Taylorreihe von sin(y) und setze da die Stelle y=x^2 ein. In diesem Fall kommt dasselbe raus.

Das ganze mit der e-Funktion zu machen, bringt dich nicht viel weiter, weil da auch bloss die Taylorreihe von sin(x^2) rauskommt, wenn du die Reihenentwicklung der e-Funktion einsetzt.

Die gleichmäßige Konvergenz bekommst du ja über die Abschätzung des Restgliedes.

03.06.2004, 15:05

franky.b

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, super, danke! :] Gott

Aber so ganz versteh ich es trotzdem noch nicht...
Die Aufgabe lautet genau:
Berechnen Sie $\begin{align*} \Bigint_{0}^1~sin(x^2)~dx \end{align*}$ mit Hilfe der Reihenentwicklung auf 5 Stellen genau (d.h. der Abstand zur exakten Lösung soll kleiner als $\begin{align*} ^0,5*10^{-5} \end{align*}$ sein).

Soweit so gut, ich entwickle also die Taylorreihe für sin(x^2). NUR: an welchem x0, also an welcher Stelle soll ich entwickeln ?? Oder ist das egal? Es wird sowieso eine sehr unangenehme Sache werden, ich hab schonmal Maple die ersten 10 Ableitungen ausspucken lassen, konnte aber keine Regelmäßigkeiten erkennen unglücklich

Aber falls ich es hinkriegen sollte:
Dann betrachte ich das Integral des n-ten Taylorplynoms und setze es <= $\begin{align*} ^0,5*10^{-5} \end{align*}$ . Somit weiss ich, bis zu welchem n ich die Taylorplynome integrieren muss, um auf die gewünschte Näherung zu kommen...
Alle einverstanden ? Augenzwinkern

03.06.2004, 15:27

SirJective

Auf diesen Beitrag antworten »

Am einfachsten ist es, die Taylorreihe an der Stelle x0 = 0 zu entwickeln. An der Stelle haben naemlich die Ableitungen besonders einfache Funktionswerte. Und bei diesen Werten wirst du auch schnell eine Regelmaessigkeit erkennen.

Wenn du maple verwendest, kannst du auch den series-Befehl benutzen, um dir eine Potenzreihenentwicklung geben zu lassen.
Um den Fehler abschaetzen zu koennen, musst du das Restglied des Taylorpolynoms betrachten.

Nehmen wir z.B. die Lagrangresche Form des Restgliedes, dann lautet es
$\begin{align*} R_{n+1}(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1} \end{align*}$ .
Dabei ist x0=0 und xi eine uns unbekannte Zahl zwischen x und x0.
Dieses Restglied koennen wir abschaetzen (da sich ja x zwischen 0 und 1 bewegt):
$\begin{align*} |R_{n+1}(x)| \leq \frac{\sup_{0\leq\xi\leq1} |f^{(n+1)}(\xi)|}{(n+1)!} |x|^{n+1} \end{align*}$ .

Nun muessen wir dieses Supremum bestimmen. Dazu brauchen wir die (n+1)-te Ableitung. Da ich auch keine allgemeine Formel sehe, muessen wir das wohl von Hand machen.

Erstmal weiter in der Theorie:
Wenn wir dieses Supremum haben, nennen wir es $\begin{align*} ||f^{(n+1)}|| \end{align*}$ .

Die Abweichung der Naeherung im Integral laesst sich nun bestimmen, indem man ueber das Restglied integriert, und danach die Restgliedabschaetzung einsetzt:
$\begin{align*} |\bigint_0^1 \sin(x^2)\,dx - \bigint_0^1 T_n(x)\,dx| = |\bigint_0^1 R_{n+1}(x)\,dx| \\ \leq \bigint_0^1\frac{||f^{(n+1)}||}{(n+1)!} |x|^{n+1}\,dx = \frac{||f^{(n+1)}||}{(n+1)!} \bigint_0^1x^{n+1}\,dx \end{align*}$ .

Nun musst du "nur noch" ein n finden, fuer das diese Abschaetzung kleiner als 0.5*10^-5 ist.

Soweit alles verstanden?

Gruss,
SirJective

03.06.2004, 16:11

franky.b

Auf diesen Beitrag antworten »

do legst di nieder Gott

Uff, das muss ich erstmal verdauen geschockt

Vielen Dank! Ich mach mich gleich an die Arbeit...

03.06.2004, 17:18

franky.b

Auf diesen Beitrag antworten »

OK, ich glaube deinen Ansatz hab ich verstanden, aber ich scheitere schon an der Taylorreihe für sin(x²). Wenn ich die Abeitungen an der Stelle x=0 betrachte, dann bekomme ich, beginnend bei der 0. Ableitung, diese Folge:
0 0 2 0 0 0 0 -120 0 0 0 0 30240 0 0 0 0 -17297280 0 ...
Also (bis auf am Anfang) immer 4 mal die null zwischen den Werten mit wechselndem Vorzeichen. Weiss jemand wie sich diese Folge ausdrücken lässt (Lösen durch Hinschauen, würde das unser Prof. nennen Augenzwinkern

) ?

03.06.2004, 22:05

SirJective

Auf diesen Beitrag antworten »

Teile diese Zahlen noch durch n!, dann erhältst du als von 0 verschiedene Koeffizienten der Taylorreihe:
1, -1/6, 1/120, 1/5040, ...
Die Nenner sind selbst wieder Fakultäten!

Die kannst du aber, wie Irrlicht schon sagte, auch direkt bekommen, indem du die Taylorreihe von sin(y) bei y0 = 0 bestimmst, und da y = x^2 einsetzt.

05.06.2004, 14:13

franky.b

Auf diesen Beitrag antworten »

nochmals vielen Dank allerseits, ich hab die aufgabe jetzt mit bravour gelöst *g* Tanzen