orthogonaler Unterraum

15.05.2006, 15:50

Sunwater

orthogonaler Unterraum

Hi...

Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum mit einer nicht-ausgearteten Bilinearform $\begin{eqnarray*} \langle \cdot , \cdot \rangle \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} W \subset V \end{eqnarray*}$ ein Unterraum,

$\begin{eqnarray*} W^{\perp} = \{ v \in V | \langle v,w \rangle = 0 \text{ für alle } w \in W\} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie:

$\begin{eqnarray*} W^{\perp} \end{eqnarray*}$ ist ein Untervektorraum - ist nicht das Problem.

aber

b) $\begin{eqnarray*} dim W + dim W^{\perp} = dim V \end{eqnarray*}$

ist schon ein Problem...

vor allem, weil als Aufgabe c) da steht:

finden Sie ein Beispiel mit: $\begin{eqnarray*} W \cap W^{\perp} \ne 0 \end{eqnarray*}$

das kann ich mir schon gar nicht vorstellen... - weil das wiederspricht doch der Definition einer nicht-ausgearteten Bilinearform oder?

Edit: LaTeX korrigiert. Ben

15.05.2006, 20:39

Dual Space

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Erstmal um deine Bedenken zu beseitigen ein kleines Bsp.:
Sei $\begin{eqnarray*} V=\mathbb{R}^3,~W=\mathbb{R}^1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z=\mathbb{R}^2\ \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} \dim W + \dim Z = \dim V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W\cap Z=W\not=\emptyset \end{eqnarray*}$ .

So nun zur Aufgabe b):
Kennst du den Projektionssatz? Dieser besagt im Groben, dass sich $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ als direkte Summe von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W^\perp \end{eqnarray*}$ darstellen lässt, also $\begin{eqnarray*} V=W\oplus W^\perp \end{eqnarray*}$ . Damit folgt auch schon (fast) unmittelbar die Behauptung.

Im Übrigen gilt immer (falls W ein linearer Teilraum von V ist), dass $\begin{eqnarray*} W\cap W^\perp=\{0\}\not=\emptyset. \end{eqnarray*}$

*verschoben*

15.05.2006, 21:06

Sunwater

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hi - ich glaub du hast mich etwas falsch verstanden.

Wir haben den Satz schon bewiesen, für einen endlich dimensionalen Vektorraum und das Skalarprodukt. Jetzt sollen wir ihn allgemeiner beweisen für einen endlich dimensionalen Vektorraum und eine nicht-ausgeartete Bilinearform.

ich wollte den Beweis ja einfach übertragen, aber wegen der Aufgabe c) dachte ich geht das nicht - denn im alten Beweis haben wir benutzt, dass
für ein Skalarprodukt gilt: $\begin{eqnarray*} W \cap W^{\perp} = {0} \end{eqnarray*}$

dieses Mal sollen wir aber bei c) mit der Bilinearform ein Beispiel dafür finden, dass $\begin{eqnarray*} W \cap W^{\perp} \ne {0} \end{eqnarray*}$ ist - und genau das konnte ich mir nicht vorstellen - weil das geht doch bei einer nicht-ausgearteten Bilinearform gar nicht oder? - dementsprechend funktioniert dann das Argument aus dem alten Beweis nicht.

15.05.2006, 21:12

Dual Space

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Nur das wir über das selbe reden: Meinst du wirklich

$\begin{eqnarray*} W\cap W^\perp\not=0 \end{eqnarray*}$

oder doch eher

$\begin{eqnarray*} W\cap W^\perp\not=\emptyset \end{eqnarray*}$

?

15.05.2006, 21:49

Sunwater

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wenn es kein Druckfehler ist dann steht in meiner Aufgabe das obere!

die Aufgabe ist auch mit einem Stern versehen, was auf schwer hindeutet - und wenn es das untere wäre, dann würde das ja immer zutreffen, denn die Null ist ja Teil beider Räume und ist immer auf sich senkrecht!

vielleicht muss man es über einem geeignetem Grundkörper betrachten?

15.05.2006, 23:25

Ben Sisko

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Überleg dir mal, was für eine Eigenschaft so ein Skalarprodukt hat (die die allgemeine Bilinearform nicht hat) und schau dir mit Hinblick darauf die Definition des orthogonalen UR an.

Gruß vom Ben

16.05.2006, 11:15

Sunwater

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also als einzige Unterschiede würde ich jetzt sagen:

Bilinearform ist nicht symmetrisch ( wird in der Aufgabe auch nicht gefordert ) und nicht definit.

trotzdem ist die gegebene B-Form ja nicht-ausgeartet:

d.h. $\begin{eqnarray*} W^{\perp} = \{v \in V | \langle v,w \rangle = 0 \text{ für alle } w \in W \} \end{eqnarray*}$

und laut definition heißt das bei nicht-ausgearteten B-Formen doch, dass v = 0 ist - daher ist $\begin{eqnarray*} W^{\perp} = \{ 0 \} \end{eqnarray*}$ oder nicht?

16.05.2006, 12:22

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Sunwater
Bilinearform ist nicht symmetrisch

Ja.

Schau dir damit nochmal die Definition deines orthogonalen URs an.

16.05.2006, 13:35

Sunwater

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ich hab gerade die Vermutung, dass $\begin{eqnarray*} W \cap W^{\perp} \end{eqnarray*}$ nicht mehr Elemente als die Null enthalten können, aber eventuell gar keins - richtig?

16.05.2006, 16:58

Bawk

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W war eigentlich definiert als Unterraum... hm es gab da son element was in allen Unterräumen drin sein musste...
Dann hast du dich ja auch schon davon überzeugt das W mit dem komischen Dings oben dran auch n Unterraum ist... naja, die Schnittmenge... hmmmmmm

16.05.2006, 17:21

Dual Space

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Damit hat BawK recht und wir haben also (sorry, wenn ich evtl. was vorwegnehme, aber da wär Sunwater auch selbst draufgekommen Augenzwinkern

):

$\begin{eqnarray*} \{0\}\subseteq W\cap W^\perp \end{eqnarray*}$

16.05.2006, 21:45

Sunwater

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ok - also ist null doch drin - stimmt mit Unterraum. - War auch nur so ne Vermutung... - aber ich geb's auf - ich muss das morgen abgeben und ich hab einfach keine Idee, wie da mehr Elemente drin sein sollten als die Null ohne die nicht-ausgeartet Eigenschaft zu verletzen...

16.05.2006, 23:39

Bawkbawk

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Zitat:

Original von Sunwater
und laut definition heißt das bei nicht-ausgearteten B-Formen doch, dass v = 0 ist - daher ist $\begin{eqnarray*} W^{\perp} = \{ 0 \} \end{eqnarray*}$ oder nicht?

Das ist hier etwas fies formuliert... in der Definition der nicht-ausgearteten Paarung haben wir zwei verschiedene Vektorräume V und W verwendet, wir betrachten jetzt aber einen Unterraum W von V. Das heißt, die Folgerung v=0 ist falsch, da es möglicherweise v aus V ohne W gibt, deren Bild unter der Paarung trotzdem Null ist.

17.05.2006, 15:10

Sunwater

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das könnte sein, dann liegen diese Elemente aber nicht in $\begin{eqnarray*} W \cap W^{\perp} \end{eqnarray*}$

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