Aufgabe Kombinatorikk

15.05.2006, 17:03

komBo

Aufgabe Kombinatorikk

Auf wieviel Arten kann man fünf nicht unterscheidbare Kugeln auf acht unterscheidbare Fächer verteilen, wenn alle Fächer beliebig viele Kugeln aufnehmen können ?

Was ist denn hier die Grundgesamtheit und was der Umfang der Komplexion ? und warum ?

Ich hätte gesagt das n=5(Grundgesamtheit) und k=8(Umfang der Komplexion) ist. Das ist aber falsch.

MfG

15.05.2006, 18:01

Lazarus

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Da ich noch nie die Begriffe "Grundgesamtheit" und "Komplexion" gehört habe schlage ich vor, du stellst dir das ganze Bildlich vor (bin ich ja eh nen Fan davon) und wir machen nen Kleines Gedankenexperiment.

Wir haben 5 Kugeln, 8 Fächer.

Wir nehmen eine Kugel und tun sie in ein Fach.
Wie viele Möglichkeiten haben wir das zu tun ?
Dann nehmen wir noch eine andere Kugel, tun das gleiche nochmal, wie viele Möglichkeiten gibt es jetzt?
usw.

Danach multiplizierst du jede Einzelmöglichkeit noch miteinander und fertsch.

16.05.2006, 11:24

kombo

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Das dauert doch viel zu lange... Kennst du nicht das Schema mit dem man solche Aufgaben rechnet ? Da muss man mehrere Fallunterscheidungen machen(zB "Ist die Anordnung der Elemente in der Komplexion wesentlich?") und am Ende kommt man dann auf die Formel die das gesuchte Ergebnnis liefert.
Das klappt auch immer einwandfrei nur hier verstehe ich nicht warum n & k nicht so sind wie ich es oben gepostet habe.

16.05.2006, 12:07

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Da die Kugeln nicht unterscheidbar sind, ist einzig und allein die Anzahl der Kugeln $\begin{eqnarray*} a_j \end{eqnarray*}$ in jedem der 8 unterscheidbaren Fächer massgeblich. Man kann die Grundgesamtheit also als Menge

$\begin{eqnarray*} \Omega = \left\{ (a_1,\ldots,a_8) \bigm| a_j\in\mathbb{N}\;\mbox{mit}\; a_1+\cdots+a_8=5 \right\} \end{eqnarray*}$

aller solcher Anzahltupel auffassen. Den Begriff "Komplexion" habe ich noch nie gehört, tut mir leid.

@Lazarus

Bei dir sind die Kugeln unterscheidbar. unglücklich

16.05.2006, 13:06

kombo

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Ok ich werd das nochmal überdenken...
Hier mal das Schema:
klickk !!!

16.05.2006, 13:15

Teutone

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Zitat:

warum n & k nicht so sind wie ich es oben gepostet habe

Ich würde mir das ja als eine Urne mit 8 unterscheidbaren Kugeln vorstellen (die Fächer) , von denen 5 mal mit zurücklegen gezogen wird, wobei die Anordnung egal ist.

Damit wäre also: $\begin{eqnarray*} n=8 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k=5 \end{eqnarray*}$

Mit Entscheidungsschema würde ich dann sagen: Kombination mit Wiederholung.

Das Ganze müsste stimmen, wenn man sich folgende Tabelle überlegt, wobei jede Zahl in der Kugelverteilung für die Anzahl der Kugeln in einem beliebigen Fach steht:
$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}{|l|r|r|r|r|r|r|r|} \hline Kugelverteilung & 5 & 4+1 & 3+1+1 & 3+2 & 2+1+1+1 & 2+2+1 & 1+1+1+1+1 \\ \hline Möglichkeiten & $8$ &$ 8 \cdot 7$ &$ 8 \cdot \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix} $ &$ 8\cdot 7 $ & $ 8 \cdot \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix} $ & $ 8 \cdot \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix} $ & $ \begin{pmatrix} 8 \\ 5 \end{pmatrix} $ \\ \hline \end{tabular} \end{eqnarray*}$

16.05.2006, 16:31

Lazarus

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@arthur: wenn noch explizit da steht das die Kugel ununterscheidbar sein soll, dann darf ich doch erwarten, das die Denkleistung, des noch mit reinzuflechten (ist ja kein akt) erwartet werden darf.

Mir gings nur darum den Grundgedanken zu verdeutlichen.

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